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Tabla de verdad

a b c = f ( a , b ) V V V V F F F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline a&b&c=f(a,b)\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Índice

Artículo principal: Cálculo lógico

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

Verdad

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado cuando está presente la afirmación de V.

V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline &\top \\\hline &V\\\hline \end{array}}}

Falso

El valor falso F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline &\bot \\\hline &F\\\hline \end{array}}}

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

A A V V F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline A&A\\\hline V&V\\F&F\\\hline \end{array}}}

Negación

La negación operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

A ¬ A V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline V&F\\F&V\\\hline \end{array}}}

Conjunción

La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas.

En términos más simples, será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

A B A B V V V V F F F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\land B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

en simbología "∧" hace referencia al conector "y"

Disyunción

La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

En términos más simples, será verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

A B A B V V V V F V F V V F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\lor B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

A B A B V V V V F F F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

La bicondicional es una operación binaria lógica que asigna el valor verdadero cuando las dos variables son iguales y el valor falso cuando son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

A B A B V V V V F F F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: nc, que se pueden presentar es:

n c = 2 n {\displaystyle nc=2^{n}}

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

n n c 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 n 2 n {\displaystyle {\begin{array}{r|r}n&nc\\\hline 0&1\\1&2\\2&4\\3&8\\4&16\\5&32\\\ldots &\ldots \\n&2^{n}\end{array}}}

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir un número de funciones: nf con n variables de entrada, donde:

n f = x n c = 2 2 n {\displaystyle nf=x^{nc}=2^{2^{n}}}

Que da como resultado la siguiente tabla:

n n f 0 2 1 4 2 16 3 256 4 65 . 536 5 4 . 294.967.296 n 2 2 n {\displaystyle {\begin{array}{r|r}n&nf\\\hline 0&2\\1&4\\2&16\\3&256\\4&65_{.}536\\5&4_{.}294.967.296\\\ldots &\ldots \\n&2^{2^{n}}\end{array}}}

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a las distintas nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las funciones posibles nf, que pueden darse para el número de variables dado.

Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: nc= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, nf= 16, cada una de las cuales sería una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de nf, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles nf, resulta ya complejo para n= 3.

Para cero variables

Un circuito sin variables: n= 0, puede presentar una combinación posible: nc=1, con dos funciones posibles: nf=2. Que serían el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente.

1 2 f 1 ( ) f 2 ( ) V F {\displaystyle {\begin{array}{| ||c|c|}\hline &1&2\\&f_{1}()&f_{2}()\\\hline &V&F\\\hline \end{array}}}

En este caso se puede ver dos funciones con cero variables, caso 1 y 2, que no interviene ninguna variable.

Cada uno de estos circuitos admite una única posición y hay dos circuitos posibles.

Para una variable

El caso de una variable binaria: n= 1, que puede presentar dos combinaciones posibles: nc=2, con 4 funciones posibles: nf=4.

1 2 3 4 A f 1 ( A ) f 2 ( A ) f 3 ( A ) f 4 ( A ) V V V F F F V F V F {\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\A&f_{1}(A)&f_{2}(A)&f_{3}(A)&f_{4}(A)\\\hline V&V&V&F&F\\F&V&F&V&F\\\hline \end{array}}}

Se pueden ver las cuatro funciones, de una variable, del caso 1 al 4, siendo A la variable. Puede verse que:

f 1 ( A ) = f 1 ( ) {\displaystyle f_{1}(A)=f_{1}()}
f 4 ( A ) = f 2 ( ) {\displaystyle f_{4}(A)=f_{2}()}

Para dos variables

Considérese dos variables proposicionales A y B.​ Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

A B V V V F F V F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline A&B\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}}

Considérese además a: f, como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.

1 2 3 4 5 6 7 8 A B f 1 ( A , B ) f 2 ( A , B ) f 3 ( A , B ) f 4 ( A , B ) f 5 ( A , B ) f 6 ( A , B ) f 7 ( A , B ) f 8 ( A , B ) V V V V V V V V V V V F V V V V F F F F F V V V F F V V F F F F V F V F V F V F 9 10 11 12 13 14 15 16 A B f 9 ( A , B ) f 10 ( A , B ) f 11 ( A , B ) f 12 ( A , B ) f 13 ( A , B ) f 14 ( A , B ) f 15 ( A , B ) f 16 ( A , B ) V V F F F F F F F F V F V V V V F F F F F V V V F F V V F F F F V F V F V F V F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&1&2&3&4&5&6&7&8\\A&B&f_{1}(A,B)&f_{2}(A,B)&f_{3}(A,B)&f_{4}(A,B)&f_{5}(A,B)&f_{6}(A,B)&f_{7}(A,B)&f_{8}(A,B)\\\hline V&V&V&V&V&V&V&V&V&V\\V&F&V&V&V&V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F&F&V&V&F&F\\F&F&V&F&V&F&V&F&V&F\\\hline &&9&10&11&12&13&14&15&16\\A&B&f_{9}(A,B)&f_{10}(A,B)&f_{11}(A,B)&f_{12}(A,B)&f_{13}(A,B)&f_{14}(A,B)&f_{15}(A,B)&f_{16}(A,B)\\\hline V&V&F&F&F&F&F&F&F&F\\V&F&V&V&V&V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F&F&V&V&F&F\\F&F&V&F&V&F&V&F&V&F\\\hline \end{array}}}

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función.

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos. Puede verse que:

f 1 ( A , B ) = f 1 ( A ) = f 1 ( ) {\displaystyle f_{1}(A,B)=f_{1}(A)=f_{1}()}
f 16 ( A , B ) = f 4 ( A ) = f 2 ( ) {\displaystyle f_{16}(A,B)=f_{4}(A)=f_{2}()}

Y también que:

f 4 ( A , B ) = f 2 ( A ) {\displaystyle f_{4}(A,B)=f_{2}(A)}
f 6 ( A , B ) = f 2 ( B ) {\displaystyle f_{6}(A,B)=f_{2}(B)}

Y que:

f 13 ( A , B ) = f 3 ( A ) {\displaystyle f_{13}(A,B)=f_{3}(A)}
f 11 ( A , B ) = f 3 ( B ) {\displaystyle f_{11}(A,B)=f_{3}(B)}

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los consiguientes casos:

Tautologías

Artículo principal: Tautología
A ¬ A A ¬ A V F V F V V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\neg A&A\lor \neg A\\\hline V&F&V\\F&V&V\\\hline \end{array}}}

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

A ¬ A {\displaystyle A\lor \neg A}

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.

Contradicción

Artículo principal: Contradicción
A ¬ A A ¬ A V F F F V F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\neg A&A\land \neg A\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}}

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

A ¬ A {\displaystyle A\land \neg A}

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.

Artículo principal: Circuito de conmutación

La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación. Se entenderá como verdad la conexión que da paso a la corriente; en caso contrario se entenderá como falso. Veamos la presentación de los dieciséis casos que se presentan con dos variables binarias A y B:

  • Caso 1
Artículo principal: Tautología (lógica)
A B c .1 V V V V F V F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.1\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.

V {\displaystyle V\,}
  • Caso 2
Artículo principal: Disyunción lógica
A B c .2 V V V V F V F V V F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.2\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad.

La función sería:

A B {\displaystyle A\lor B}
  • Caso 3
Artículo principal: Implicación opuesta
A B c .3 V V V V F V F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.3\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado también es verdad.

Su función sería:

A ¬ B {\displaystyle A\lor \neg B}
  • Caso 4
Artículo principal: Afirmación lógica
A B c .4 V V V V F V F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.4\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.

La función solo depende de A:

A {\displaystyle A\;}
  • Caso 5
Artículo principal: Condicional material
A B c .5 V V V V F F F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.5\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B.

Y si función es:

¬ A B = A B {\displaystyle \neg A\lor B=A\Rightarrow B}
  • Caso 6
Artículo principal: Afirmación lógica
A B c .6 V V V V F F F V V F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.6\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

En el sexto caso la función es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.

La función solo depende de B:

B {\displaystyle B\;}
  • Caso 7
Artículo principal: Bicondicional
A B c .7 V V V V F F F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.7\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

El séptimo caso corresponde a la relación bicondicional entre A y B, el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos.

( A B ) ( ¬ A ¬ B ) = A B {\displaystyle (A\land B)\lor (\neg A\land \neg B)=A\Leftrightarrow B}
  • Caso 8
Artículo principal: Conjunción lógica
A B c .8 V V V V F F F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.8\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjunción de A y B, equivalente a un circuito en serie.

A B {\displaystyle A\land B}
  • Caso 9
Artículo principal: Conjunción opuesta
A B c .9 V V F V F V F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.9\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyunción de la negación A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.

¬ A ¬ B {\displaystyle \neg A\lor \neg B}
  • Caso 10
Artículo principal: Disyunción exclusiva
A B c .10 V V F V F V F V V F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.10\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

Podemos ver que el décimo caso es lo opuesto a la bicondicional, solo es verdad si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es verdad, si A y B son iguales el resultado es falso.

( A ¬ B ) ( ¬ A B ) {\displaystyle (A\land \neg B)\lor (\neg A\land B)}
  • Caso 11
Artículo principal: Negación lógica
A B c .11 V V F V F V F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.11\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la función solo depende de B, en sentido inverso.

¬ B {\displaystyle \neg B}
  • Caso 12
Artículo principal: Adjunción lógica
A B c .12 V V F V F V F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.12\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

En el caso doce, vemos que solo hay un combinación de A y B con resultado verdadero, que es A y la negación de B.

A ¬ B {\displaystyle A\land \neg B}
  • Caso 13
Artículo principal: Negación lógica
A B c .13 V V F V F F F V V F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.13\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:

¬ A {\displaystyle \neg A}
  • Caso 14
Artículo principal: Adjunción opuesta
A B c .14 V V F V F F F V V F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.14\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

Caso decimocuarto, el resultado de la función solo es verdad si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexión inversa y de B en conexión directa.

¬ A B {\displaystyle \neg A\land B}
  • Caso 15
Artículo principal: Disyunción opuesta
A B c .15 V V F V F F F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.15\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}}

En el caso decimoquinto, el resultado solo es verdad si A y B son falsos, Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.

¬ A ¬ B {\displaystyle \neg A\land \neg B}
  • Caso 16
Artículo principal: Contradicción
A B c .16 V V F V F F F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.16\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}}

Por último en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B.

F {\displaystyle F\,}
1 2 3 4 5 A B C B C A ( B C ) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1&2&3&4&5\\\hline A&B&C&B\lor C&A\land (B\lor C)\\\hline V&V&V&V&V\\V&V&F&V&V\\V&F&V&V&V\\V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F\\F&V&F&V&F\\F&F&V&V&F\\F&F&F&F&F\\\hline \end{array}}}

Se entiende por indeterminación o contingencia aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A ( B C ) {\displaystyle A\land (B\lor C)} .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B C {\displaystyle B\lor C} aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B C {\displaystyle B\lor C} , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa A ( B C ) {\displaystyle A\land (B\lor C)} , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A ( B C ) {\displaystyle A\land (B\lor C)} es V y cuándo es F.

Artículo principal: Cálculo lógico

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

  • La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

  • Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

Cálculo lógico

La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.

Lógica de circuitos

Artículo principal: Puerta lógica
Puertas lógicas para circuitos eléctricos

Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que

  • valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y
  • valor "0" corta el paso de dicha corriente.

Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0 o 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente.

Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7 respectivamente, y la función NOT.

En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus equivalentes en lógica de circuitos.

EA EB Verdad EA OR EB EA OR NOT (EB) BUFFER EA NOT(EA) OR EB BUFFER EB EA XNOR EB EA AND EB EA NAND EB EA XOR EB NOT EB EA AND NOT(EB) NOT(EA) NOT(EA) AND EB NOR Falso
A {\displaystyle A\,\!} B {\displaystyle B\,\!} V {\displaystyle V\,\!} A + B {\displaystyle A+B\,\!} A + B ¯ {\displaystyle A+{\overline {B}}} A {\displaystyle A\,\!} A ¯ + B {\displaystyle {\overline {A}}+B} B {\displaystyle B\,\!} A B ¯ {\displaystyle {\overline {A\oplus B}}} A B {\displaystyle A\cdot B} A B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cdot B}}} A B {\displaystyle A\oplus B} B ¯ {\displaystyle {\overline {B}}} A B ¯ {\displaystyle A\cdot {\overline {B}}} A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} A ¯ B {\displaystyle {\overline {A}}\cdot B} A + B ¯ {\displaystyle {\overline {A+B}}} F {\displaystyle F\,\!}
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio de puertas lógicas.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Así mismo, se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos.

  1. «truth table». The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(en inglés). Oxford University Press. Consultado el 8 de octubre de 2009.
  2. Las letras A y B son metavariables, es decir pertenecen a un metalenguaje respecto a un lenguaje-objeto; por ello simbolizan cualquier proposición, atómica o no, del lenguaje de la lógica proposicional.
  1. Fuente: Wikipedia (2011). Lógica Proposicional. General Books. ISBN 978-123-173-613-5.
  2. Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas (1 edición). Universidad de Caldas. ISBN 958-8231-38-8.
  3. Charles D. Miller (2005). Matematica: Razonamiento y aplicaciones (Víctor Hugo Ibarra, trad.) (10 edición). Pearson Educación.
  4. Barco Gómez, Carlos (2004). Elementos de lógica (1 edición). Universidad de Caldas. ISBN 958-8041-97-X.
  5. Roger L. Tokheim (2002). Electrónica digital. Editorial Reverte. ISBN 84-291-3453-0.

Tabla de verdad
tabla, verdad, idioma, vigilar, editar, displaystyle, begin, array, hline, hline, hline, array, tabla, verdad, tabla, valores, verdades, tabla, muestra, valor, verdad, proposición, compuesta, para, cada, combinación, verdad, pueda, asignar, desarrollada, charl. Tabla de verdad Idioma Vigilar Editar a b c f a b V V V V F F F V V F F V displaystyle begin array c c c hline a amp b amp c f a b hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp V hline end array Una tabla de verdad o tabla de valores de verdades es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposicion compuesta para cada combinacion de verdad que se pueda asignar 1 Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los anos 1880 pero el formato mas popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico philosophicus publicado en 1921 Indice 1 Definiciones en el calculo logico 1 1 Verdad 1 2 Falso 1 3 Variable 1 4 Negacion 1 5 Conjuncion 1 6 Disyuncion 1 7 Implicacion o Condicional 1 8 Equivalencia doble implicacion o Bicondicional 2 Numero de combinaciones 2 1 Para cero variables 2 2 Para una variable 2 3 Para dos variables 3 Tablas de verdad 3 1 Tautologias 3 2 Contradiccion 4 Desarrollo del algoritmo fundamental en logica de circuitos 5 Indeterminacion o Contingencia 6 Tablas de verdad proposiciones logicas y argumentos deductivos 7 Aplicaciones 7 1 Calculo logico 7 2 Logica de circuitos 8 Vease tambien 9 Notas y referencias 10 Bibliografia 11 Enlaces externosDefiniciones en el calculo logico EditarArticulo principal Calculo logico Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores Las definiciones se haran en funcion del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalizacion de argumentos Como razonamientos deductivos logico linguisticos Como construccion de un sistema matematico puro Como una aplicacion logica en un Circuito de conmutacion Verdad Editar El valor verdadero se representa con la letra V si se emplea notacion numerica se expresa con un uno 1 en un circuito electrico el circuito esta cerrado cuando esta presente la afirmacion de V V displaystyle begin array c c hline amp top hline amp V hline end array Falso Editar El valor falso F si se emplea notacion numerica se expresa con un cero 0 en un circuito electrico el circuito esta abierto F displaystyle begin array c c hline amp bot hline amp F hline end array Variable Editar Para una variable logica A B C pueden ser verdaderas V o falsas F los operadores fundamentales se definen asi A A V V F F displaystyle begin array c c hline A amp A hline V amp V F amp F hline end array Negacion Editar La negacion operador que se ejecuta sobre un unico valor de verdad devolviendo el valor contradictorio de la proposicion considerada A A V F F V displaystyle begin array c c hline A amp neg A hline V amp F F amp V hline end array Conjuncion Editar La conjuncion es un operador que actua sobre dos valores de verdad tipicamente los valores de verdad de dos proposiciones devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas y falso en cualquier otro caso Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas En terminos mas simples sera verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas La tabla de verdad de la conjuncion es la siguiente A B A B V V V V F F F V F F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp A land B hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp F hline end array Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental en simbologia hace referencia al conector y Disyuncion Editar La disyuncion es un operador logico que actua sobre dos valores de verdad tipicamente los valores de verdad de dos proposiciones devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera o cuando ambas lo son y falso cuando ambas son falsas En terminos mas simples sera verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario sera falsa La tabla de verdad de la disyuncion es la siguiente A B A B V V V V F V F V V F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp A lor B hline V amp V amp V V amp F amp V F amp V amp V F amp F amp F hline end array Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental Implicacion o Condicional Editar El condicional material es un operador que actua sobre dos valores de verdad tipicamente los valores de verdad de dos proposiciones devolviendo el valor de falso solo cuando la primera proposicion es verdadera y la segunda falsa y verdadero en cualquier otro caso La tabla de verdad del condicional material es la siguiente A B A B V V V V F F F V V F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp A Rightarrow B hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp V hline end array Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental Equivalencia doble implicacion o Bicondicional Editar La bicondicional es una operacion binaria logica que asigna el valor verdadero cuando las dos variables son iguales y el valor falso cuando son diferentes La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente A B A B V V V V F F F V F F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp A Leftrightarrow B hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp V hline end array Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental Numero de combinaciones EditarPartiendo de un numero n de variables cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero V o falso F por combinatoria podemos saber que el numero total de combinaciones nc que se pueden presentar es n c 2 n displaystyle nc 2 n el numero de combinaciones que se pueden dar con n variable cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores logicos es de dos elevado a n esto es el numero de combinaciones nc tiene crecimiento exponencial respecto al numero de variable n n n c 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 n 2 n displaystyle begin array r r n amp nc hline 0 amp 1 1 amp 2 2 amp 4 3 amp 8 4 amp 16 5 amp 32 ldots amp ldots n amp 2 n end array Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias puede presentar un resultado verdadero V o falso F para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir un numero de funciones nf con n variables de entrada donde n f x n c 2 2 n displaystyle nf x nc 2 2 n Que da como resultado la siguiente tabla n n f 0 2 1 4 2 16 3 256 4 65 536 5 4 294 967 296 n 2 2 n displaystyle begin array r r n amp nf hline 0 amp 2 1 amp 4 2 amp 16 3 amp 256 4 amp 65 536 5 amp 4 294 967 296 ldots amp ldots n amp 2 2 n end array Para componer una tabla de verdad pondremos las n variables en una linea horizontal debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F dando lugar a las distintas nc numero de combinaciones Normalmente solo se representa la funcion para la que se confecciona la tabla de verdad y en todo caso funciones parciales que ayuden en su calculo en la figura se pueden ver todas las funciones posibles nf que pueden darse para el numero de variables dado Asi podemos ver que para dos variables binarias A y B n 2 que pueden tomar los valores V y F se pueden desarrollar cuatro combinaciones nc 4 con estos valores se pueden definir dieciseis resultados distintos nf 16 cada una de las cuales seria una funcion de dos variables binarias Para otro numero de variables se obtendran los resultados correspondientes dado el crecimiento exponencial de nf cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco la representacion en un cuadro resulta compleja y si se quiere representar las combinaciones posibles nf resulta ya complejo para n 3 Para cero variables Editar Un circuito sin variables n 0 puede presentar una combinacion posible nc 1 con dos funciones posibles nf 2 Que serian el circuito cerrado permanentemente y el circuito abierto permanentemente 1 2 f 1 f 2 V F displaystyle begin array c c hline amp 1 amp 2 amp f 1 amp f 2 hline amp V amp F hline end array En este caso se puede ver dos funciones con cero variables caso 1 y 2 que no interviene ninguna variable Cada uno de estos circuitos admite una unica posicion y hay dos circuitos posibles Para una variable Editar El caso de una variable binaria n 1 que puede presentar dos combinaciones posibles nc 2 con 4 funciones posibles nf 4 1 2 3 4 A f 1 A f 2 A f 3 A f 4 A V V V F F F V F V F displaystyle begin array c c c c c hline amp 1 amp 2 amp 3 amp 4 A amp f 1 A amp f 2 A amp f 3 A amp f 4 A hline V amp V amp V amp F amp F F amp V amp F amp V amp F hline end array Se pueden ver las cuatro funciones de una variable del caso 1 al 4 siendo A la variable Puede verse que f 1 A f 1 displaystyle f 1 A f 1 f 4 A f 2 displaystyle f 4 A f 2 Para dos variables Editar Considerese dos variables proposicionales A y B 2 Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad o V verdadero o F falso Por lo tanto los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas o ambas son verdaderas o A es verdadera y B falsa o A es falsa y B verdadera o ambas son falsas Esto puede expresarse con una tabla simple A B V V V F F V F F displaystyle begin array c c hline A amp B hline V amp V V amp F F amp V F amp F hline end array Considerese ademas a f como una operacion o funcion logica que realiza una funcion de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B y devolver un unico valor de verdad Entonces existen 16 funciones distintas posibles y es facil construir una tabla que muestre que devuelve cada funcion frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B 1 2 3 4 5 6 7 8 A B f 1 A B f 2 A B f 3 A B f 4 A B f 5 A B f 6 A B f 7 A B f 8 A B V V V V V V V V V V V F V V V V F F F F F V V V F F V V F F F F V F V F V F V F 9 10 11 12 13 14 15 16 A B f 9 A B f 10 A B f 11 A B f 12 A B f 13 A B f 14 A B f 15 A B f 16 A B V V F F F F F F F F V F V V V V F F F F F V V V F F V V F F F F V F V F V F V F displaystyle begin array c c c c c c c c c c hline amp amp 1 amp 2 amp 3 amp 4 amp 5 amp 6 amp 7 amp 8 A amp B amp f 1 A B amp f 2 A B amp f 3 A B amp f 4 A B amp f 5 A B amp f 6 A B amp f 7 A B amp f 8 A B hline V amp V amp V amp V amp V amp V amp V amp V amp V amp V V amp F amp V amp V amp V amp V amp F amp F amp F amp F F amp V amp V amp V amp F amp F amp V amp V amp F amp F F amp F amp V amp F amp V amp F amp V amp F amp V amp F hline amp amp 9 amp 10 amp 11 amp 12 amp 13 amp 14 amp 15 amp 16 A amp B amp f 9 A B amp f 10 A B amp f 11 A B amp f 12 A B amp f 13 A B amp f 14 A B amp f 15 A B amp f 16 A B hline V amp V amp F amp F amp F amp F amp F amp F amp F amp F V amp F amp V amp V amp V amp V amp F amp F amp F amp F F amp V amp V amp V amp F amp F amp V amp V amp F amp F F amp F amp V amp F amp V amp F amp V amp F amp V amp F hline end array Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B Hay por lo tanto 4 lineas y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una funcion De esta forma podemos conocer mecanicamente mediante algoritmo los posibles valores de verdad de cualquier conexion logica interpretada como funcion siempre y cuando definamos los valores que devuelva la funcion Se hace necesario pues definir las funciones que se utilizan en la confeccion de un sistema logico De especial relevancia se consideran las definiciones para el Calculo de deduccion natural y las puertas logicas en los circuitos electronicos Puede verse que f 1 A B f 1 A f 1 displaystyle f 1 A B f 1 A f 1 f 16 A B f 4 A f 2 displaystyle f 16 A B f 4 A f 2 Y tambien que f 4 A B f 2 A displaystyle f 4 A B f 2 A f 6 A B f 2 B displaystyle f 6 A B f 2 B Y que f 13 A B f 3 A displaystyle f 13 A B f 3 A f 11 A B f 3 B displaystyle f 11 A B f 3 B Tablas de verdad EditarLas tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposicion molecular asi como el analisis de la misma en funcion de las proposiciones que la integran encontrandonos con los consiguientes casos Tautologias Editar Articulo principal Tautologia A A A A V F V F V V displaystyle begin array c c c hline A amp neg A amp A lor neg A hline V amp F amp V F amp V amp V hline end array Se entiende por proposicion tautologica o tautologia aquella proposicion que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V Dicho de otra forma su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman sino de la forma en que estan establecidas las relaciones sintacticas de unas con otras Sea el caso A A displaystyle A lor neg A Siguiendo la mecanica algoritmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad tenemos la variable A en disyuncion con su contradiccion si A es verdad su negacion es falsa y si A es falsa su negacion es verdad en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta y su disyuncion es cierta en todos los casos Contradiccion Editar Articulo principal Contradiccion A A A A V F F F V F displaystyle begin array c c c hline A amp neg A amp A land neg A hline V amp F amp F F amp V amp F hline end array Se entiende por proposicion contradictoria o contradiccion aquella proposicion que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F Dicho de otra forma su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman sino de la forma en que estan establecidas las relaciones sintacticas de unas con otras Sea el caso A A displaystyle A land neg A Procederemos de manera similar al caso anterior Partiendo de la variable A y su contradiccion la conjuncion de ambos siempre es falso dado que si A es verdad su contradiccion es falsa y si A es falsa su contradiccion es verdad la conjuncion de ambas da falso en todos los casos Desarrollo del algoritmo fundamental en logica de circuitos EditarArticulo principal Formas canonicas algebra de Boole Articulo principal Circuito de conmutacion La definicion de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas en cada caso asi como a implementaciones en cada una de las tecnologias que pueden representar funciones logicas en binario como las puertas logicas o los circuitos de conmutacion Se entendera como verdad la conexion que da paso a la corriente en caso contrario se entendera como falso Veamos la presentacion de los dieciseis casos que se presentan con dos variables binarias A y B Caso 1Articulo principal Tautologia logica A B c 1 V V V V F V F V V F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 1 hline V amp V amp V V amp F amp V F amp V amp V F amp F amp V hline end array El primer caso en una funcion logica que para todas las posibles combinaciones de A y B el resultado siempre es verdadero es un caso de tautologia su implementacion en un circuito es una conexion fija V displaystyle V Caso 2Articulo principal Disyuncion logica A B c 2 V V V V F V F V V F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 2 hline V amp V amp V V amp F amp V F amp V amp V F amp F amp F hline end array En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad La funcion seria A B displaystyle A lor B Caso 3Articulo principal Implicacion opuesta A B c 3 V V V V F V F V F F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 3 hline V amp V amp V V amp F amp V F amp V amp F F amp F amp V hline end array En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado tambien es verdad Su funcion seria A B displaystyle A lor neg B Caso 4Articulo principal Afirmacion logica A B c 4 V V V V F V F V F F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 4 hline V amp V amp V V amp F amp V F amp V amp F F amp F amp F hline end array En el cuarto caso la funcion es cierta si A es cierta los posibles valores de B no influyen en el resultado La funcion solo depende de A A displaystyle A Caso 5Articulo principal Condicional material A B c 5 V V V V F F F V V F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 5 hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp V hline end array En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero y si A y B son verdaderos el resultado tambien es verdadero puede verse que este caso es identico al tercero permutando A por B Y si funcion es A B A B displaystyle neg A lor B A Rightarrow B Caso 6Articulo principal Afirmacion logica A B c 6 V V V V F F F V V F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 6 hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp F hline end array En el sexto caso la funcion es cierta si B es cierta los valores de A no influyen en el resultado La funcion solo depende de B B displaystyle B Caso 7Articulo principal Bicondicional A B c 7 V V V V F F F V F F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 7 hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp V hline end array El septimo caso corresponde a la relacion bicondicional entre A y B el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos A B A B A B displaystyle A land B lor neg A land neg B A Leftrightarrow B Caso 8Articulo principal Conjuncion logica A B c 8 V V V V F F F V F F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 8 hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp F hline end array En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad en el resto de los valores de A y B el resultado es falso corresponde a la conjuncion de A y B equivalente a un circuito en serie A B displaystyle A land B Caso 9Articulo principal Conjuncion opuesta A B c 9 V V F V F V F V V F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 9 hline V amp V amp F V amp F amp V F amp V amp V F amp F amp V hline end array En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero corresponde a la disyuncion de la negacion A y de B equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas A B displaystyle neg A lor neg B Caso 10Articulo principal Disyuncion exclusiva A B c 10 V V F V F V F V V F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 10 hline V amp V amp F V amp F amp V F amp V amp V F amp F amp F hline end array Podemos ver que el decimo caso es lo opuesto a la bicondicional solo es verdad si A y B discrepan si A y B son diferentes el valor es verdad si A y B son iguales el resultado es falso A B A B displaystyle A land neg B lor neg A land B Caso 11Articulo principal Negacion logica A B c 11 V V F V F V F V F F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 11 hline V amp V amp F V amp F amp V F amp V amp F F amp F amp V hline end array En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero independientemente del valor de A luego la funcion solo depende de B en sentido inverso B displaystyle neg B Caso 12Articulo principal Adjuncion logica A B c 12 V V F V F V F V F F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 12 hline V amp V amp F V amp F amp V F amp V amp F F amp F amp F hline end array En el caso doce vemos que solo hay un combinacion de A y B con resultado verdadero que es A y la negacion de B A B displaystyle A land neg B Caso 13Articulo principal Negacion logica A B c 13 V V F V F F F V V F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 13 hline V amp V amp F V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp V hline end array En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A independientemente del valor de B A displaystyle neg A Caso 14Articulo principal Adjuncion opuesta A B c 14 V V F V F F F V V F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 14 hline V amp V amp F V amp F amp F F amp V amp V F amp F amp F hline end array Caso decimocuarto el resultado de la funcion solo es verdad si A es falso y B verdadero luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexion inversa y de B en conexion directa A B displaystyle neg A land B Caso 15Articulo principal Disyuncion opuesta A B c 15 V V F V F F F V F F F V displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 15 hline V amp V amp F V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp V hline end array En el caso decimoquinto el resultado solo es verdad si A y B son falsos Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero A B displaystyle neg A land neg B Caso 16Articulo principal Contradiccion A B c 16 V V F V F F F V F F F F displaystyle begin array c c c hline A amp B amp c 16 hline V amp V amp F V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp F hline end array Por ultimo en el caso decimosexto tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B F displaystyle F Indeterminacion o Contingencia Editar1 2 3 4 5 A B C B C A B C V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F displaystyle begin array c c c c c hline 1 amp 2 amp 3 amp 4 amp 5 hline A amp B amp C amp B lor C amp A land B lor C hline V amp V amp V amp V amp V V amp V amp F amp V amp V V amp F amp V amp V amp V V amp F amp F amp F amp F F amp V amp V amp V amp F F amp V amp F amp V amp F F amp F amp V amp V amp F F amp F amp F amp F amp F hline end array Se entiende por indeterminacion o contingencia aquella proposicion que puede ser verdadera o falsa segun los valores de las proposiciones que la integran Sea el caso A B C displaystyle A land B lor C Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse segun el valor V o F de cada una de las proposiciones A B C Columnas 1 2 3 Una columna Columna 4 en la que se establecen los valores de B C displaystyle B lor C aplicando la definicion del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas Columnas 2 3 4 Una columna columna 5 en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definicion de la conjuncion entre los valores de A columna 1 y valores de la columna B C displaystyle B lor C columna 4 que representaran los valores de la proposicion completa A B C displaystyle A land B lor C cuyo valor de verdad es V o F segun la fila de los valores de A B y C que consideremos Columnas 1 4 5 Donde podemos comprobar cuando y por que la proposicion A B C displaystyle A land B lor C es V y cuando es F Tablas de verdad proposiciones logicas y argumentos deductivos EditarArticulo principal Calculo logico En realidad toda la logica esta contenida en las tablas de verdad en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintacticas entre las diversas proposiciones No obstante la sencillez del algoritmo aparecen dos dificultades La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposicion con mas de 4 variables Esta dificultad ha sido magnificamente superada por la rapidez de los ordenadores y no presenta dificultad alguna Que unicamente sera aplicable a un esquema de inferencia o argumento cuando la proposicion condicionada como conclusion sea previamente conocida al menos como hipotesis hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautologia Por ello se construye un calculo mediante cadenas deductivas Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia se toman como premisas de un argumento Se establecen como reglas de calculo algunas tautologias como tales leyes logicas pues garantizan por su caracter tautologico el valor V Se permite la aplicacion de dichas reglas como reglas de sustitucion de formulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas Deduciendo mediante su aplicacion como teoremas todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas Cuando en un calculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas el calculo se dice que es axiomatico El calculo logico asi puede utilizarse como demostracion argumentativa Aplicaciones EditarCalculo logico Editar La aplicacion fundamental se hace cuando se construye un sistema logico que modeliza el lenguaje natural sometiendolo a unas reglas de formalizacion del lenguaje Su aplicacion puede verse en el calculo logico Logica de circuitos Editar Articulo principal Puerta logica Puertas logicas para circuitos electricos Una aplicacion importante de las tablas de verdad procede del hecho de que interpretando los valores logicos de verdad como 1 y 0 logica positiva en el sentido que valor 1 permite el paso de corriente electrica y valor 0 corta el paso de dicha corriente Los valores de entrada o no entrada de corriente a traves de un diodo pueden producir una salida 0 o 1 segun las condiciones definidas como funcion segun las tablas mostradas anteriormente Asi se establecen las algunas funciones basicas AND NAND OR NOR XOR XNOR o NXOR que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8 9 2 15 10 y 7 respectivamente y la funcion NOT En lugar de variables proposicionales considerando las posibles entradas como EA y EB podemos armar una tabla analoga de 16 funciones como la presentada arriba con sus equivalentes en logica de circuitos EA EB Verdad EA OR EB EA OR NOT EB BUFFER EA NOT EA OR EB BUFFER EB EA XNOR EB EA AND EB EA NAND EB EA XOR EB NOT EB EA AND NOT EB NOT EA NOT EA AND EB NOR FalsoA displaystyle A B displaystyle B V displaystyle V A B displaystyle A B A B displaystyle A overline B A displaystyle A A B displaystyle overline A B B displaystyle B A B displaystyle overline A oplus B A B displaystyle A cdot B A B displaystyle overline A cdot B A B displaystyle A oplus B B displaystyle overline B A B displaystyle A cdot overline B A displaystyle overline A A B displaystyle overline A cdot B A B displaystyle overline A B F displaystyle F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Esta aplicacion hace posible la construccion de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad y la construccion de circuitos que utilizan este tipo de analisis se hace por medio de puertas logicas La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperacion de datos en las bases de datos como Internet con los motores de busqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados Asi mismo se utilizan para programar simulaciones logicas de inteligencia artificial con lenguajes propios Tambien en modelos matematicos predictores meteorologia marketing y otros muchos Vease tambien EditarOperador logico Anexo Tabla de simbolos matematicos Lenguaje formalizado Algebra de Boole Calculo logico Logica binaria Logica proposicional Puerta logica Funcion logica Funcion de verdadNotas y referencias Editar truth table The Concise Oxford Dictionary of Mathematics en ingles Oxford University Press Consultado el 8 de octubre de 2009 Las letras A y B son metavariables es decir pertenecen a un metalenguaje respecto a un lenguaje objeto por ello simbolizan cualquier proposicion atomica o no del lenguaje de la logica proposicional Bibliografia EditarFuente Wikipedia 2011 Logica Proposicional General Books ISBN 978 123 173 613 5 Barco Gomez Carlos 2005 Algebra Booleana Aplicaciones tecnologicas 1 edicion Universidad de Caldas ISBN 958 8231 38 8 Charles D Miller 2005 Matematica Razonamiento y aplicaciones Victor Hugo Ibarra trad 10 edicion Pearson Educacion Barco Gomez Carlos 2004 Elementos de logica 1 edicion Universidad de Caldas ISBN 958 8041 97 X Roger L Tokheim 2002 Electronica digital Editorial Reverte ISBN 84 291 3453 0 Enlaces externos EditarTablas de verdad Tablas De Verdad Tablas de Verdad Logica matematica Datos Q219079 Multimedia Truth tablesObtenido de https es wikipedia org w index php title Tabla de verdad amp oldid 137159328, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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