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Geometría diferencial de superficies

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el espacio euclídeo.

Puesto que una superficie en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie, las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros (u, v), que funcionen como sistema de coordenadas propio de la superficie:

r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\,}

Parametrización de una superficie

Llamaremos a esta función r carta de la superficie.

Un punto Q = (u0, v0) se llama regular si en él se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos ni paralelos, es decir, que son linealmente independientes o, equicalentemente que su producto vectorial es no nulo:

r ( u 0 , v 0 ) u × r ( u 0 , v 0 ) v 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial v}}\neq \mathbf {0} }

Esto es equivalente a pedir que el jacobiano de la carta r (que va desde el dominio V en R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} a R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) tenga rango máximo, es decir, sea igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.

Plano tangente

Dada una superficie S {\displaystyle S\,} de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} y un punto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) S {\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S\,} se define como el único plano geométrico de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} que contiene al punto P 0 {\displaystyle P_{0}\,} y que contiene a todos los vectores tangentes a la superficie en dicho punto. La ecuación analítica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de una superficie:

Π S , P 0 = { r ( u 0 , v 0 ) + α r ( u 0 , v 0 ) u + β r ( u 0 , v 0 ) v : α , β R } {\displaystyle \Pi _{S,P_{0}}=\left\{\mathbf {r} (u_{0},v_{0})+\alpha {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial u}}+\beta {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial v}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \right\}}

Más sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)\,} que satisface la siguiente ecuación:

| x x 0 y y 0 z z 0 x u ( P 0 ) y u ( P 0 ) z u ( P 0 ) x v ( P 0 ) y v ( P 0 ) z v ( P 0 ) | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x'_{u}(P_{0})&y'_{u}(P_{0})&z'_{u}(P_{0})\\x'_{v}(P_{0})&y'_{v}(P_{0})&z'_{v}(P_{0})\end{vmatrix}}=0}

Aquí, se ha usado la simplificación de notación x u = x u , y u = y u {\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}},\,y'_{u}={\frac {\partial y}{\partial u}}} ,... etc

Vector normal a la superficie

Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie. Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente. Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial será perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos, es decir, perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores. Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie. Así el vector normal puede calcularse como:

n = r ( u 0 , v 0 ) u × r ( u 0 , v 0 ) v r ( u 0 , v 0 ) u × r ( u 0 , v 0 ) v = r u ( u 0 , v 0 ) × r v ( u 0 , v 0 ) r u ( u 0 , v 0 ) × r v ( u 0 , v 0 ) {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial v}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u_{0},v_{0})}{\partial v}}\right\|}}={\frac {\mathbf {r} '_{u}(u_{0},v_{0})\times \mathbf {r} '_{v}(u_{0},v_{0})}{\left\Vert \mathbf {r} '_{u}(u_{0},v_{0})\times \mathbf {r} '_{v}(u_{0},v_{0})\right\|}}}


Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:

n = f f = ( f x , f y , f z ) f x 2 + f y 2 + f z 2 {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\nabla f}{\left\Vert \nabla f\right\|}}={\frac {(f'_{x},f'_{y},f'_{z})}{\sqrt {{f'}_{x}^{2}+{f'}_{y}^{2}+{f'}_{z}^{2}}}}}


La primera forma fundamental I es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie S. Esta primera forma fundamental de hecho es el tensor métrico inducido por la métrica euclídea sobre la superficie. De hecho (S, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. Gracias a la primera forma fundamental podemos estimar longitudes de curvas definidas sobre la superficie, ángulos de intersección entre curvas y el resto de conceptos métricos habituales. Por razones históricas las componentes de la primera forma fundamental se designan por E, F y G:

( I k l ( u , v ) ) = ( E ( u , v ) F ( u , v ) F ( u , v ) G ( u , v ) ) = ( g 11 ( u , v ) g 12 ( u , v ) g 21 ( u , v ) g 22 ( u , v ) ) {\displaystyle (I_{kl}(u,v))={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}(u,v)&g_{12}(u,v)\\g_{21}(u,v)&g_{22}(u,v)\end{pmatrix}}}


Además la forma cuadrática anterior es definida positiva, lo que implica que EG-F2 > 0. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas d u , d v {\displaystyle du,dv\,} conforme a:

I ( u , v ) = E ( u , v ) d u d u + F ( u , v ) d u d v + F ( u , v ) d v d u + G ( u , v ) d v d v {\displaystyle I(u,v)=E(u,v)du\otimes du+F(u,v)du\otimes dv+F(u,v)dv\otimes du+G(u,v)dv\otimes dv}


Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:

E ( u , v ) = r u r u = r u r u F ( u , v ) = r u r v = r u r v G ( u , v ) = r v r v = r v r v {\displaystyle E(u,v)={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}=\mathbf {r} '_{u}\cdot \mathbf {r} '_{u}\qquad F(u,v)={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}=\mathbf {r} '_{u}\cdot \mathbf {r} '_{v}\qquad G(u,v)={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}=\mathbf {r} '_{v}\cdot \mathbf {r} '_{v}}


Longitud de una curva

Dada una curva C contenida totalmente en una superficie S sus ecuaciones paramétricas podrán expresarse mediante:

r ( t ) = ( x ( u ( t ) , v ( t ) ) , y ( u ( t ) , v ( t ) ) , z ( u ( t ) , v ( t ) ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left(x(u(t),v(t)),\ y(u(t),v(t)),\ z(u(t),v(t))\right)}


La longitud de esta curva puede expresarse por una integral de las derivadas de las funciones u y v y las componentes de la primera forma fundamental:

L C = C E ( u , v ) [ u ( t ) ] 2 + 2 F ( u , v ) u ( t ) v ( t ) + G ( u , v ) [ v ( t ) ] 2 d t {\displaystyle L_{C}=\int _{C}{{\sqrt {E(u,v)[u'(t)]^{2}+2F(u,v)u'(t)v'(t)+G(u,v)[v'(t)]^{2}}}dt}}


Ángulo entre dos curvas

Similarmente dadas dos curvas C1 y C2 que intersecan en un punto P0 y cuyas ecuaciones paramétricas son:

r 1 ( t ) = ( x 1 ( u 1 ( t ) , v 1 ( t ) ) , y 1 ( u 1 ( t ) , v 1 ( t ) ) , z 1 ( u 1 ( t ) , v 1 ( t ) ) ) {\displaystyle \mathbf {r_{1}} (t)=\left(x_{1}(u_{1}(t),v_{1}(t)),\quad y_{1}(u_{1}(t),v_{1}(t)),\quad z_{1}(u_{1}(t),v_{1}(t))\right)}
r 2 ( t ) = ( x 2 ( u 2 ( t ) , v 2 ( t ) ) , y 2 ( u 2 ( t ) , v 2 ( t ) ) , z 2 ( u 2 ( t ) , v 2 ( t ) ) ) {\displaystyle \mathbf {r_{2}} (t)=\left(x_{2}(u_{2}(t),v_{2}(t)),\quad y_{2}(u_{2}(t),v_{2}(t)),\quad z_{2}(u_{2}(t),v_{2}(t))\right)}


El ángulo α formado por las dos curvas en el punto de intersección viene definido por la ecuación:

cos α = E u 1 u 2 + F ( u 1 v 2 + u 2 v 1 ) + G v 1 v 2 E ( u 1 ) 2 + 2 F u 1 v 1 + G ( v 1 ) 2 E ( u 2 ) 2 + 2 F u 2 v 2 + G ( v 2 ) 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {Eu'_{1}u'_{2}+F(u'_{1}v'_{2}+u'_{2}v'_{1})+Gv'_{1}v'_{2}}{{\sqrt {E(u'_{1})^{2}+2Fu'_{1}v'_{1}+G(v'_{1})^{2}}}\quad {\sqrt {E({u'}_{2})^{2}+2F{u'}_{2}{v'}_{2}+G({v'}_{2})^{2}}}}}}


Donde las derivadas se evalúan para los valores de parámetro t 1 {\displaystyle t_{1}} y t 1 {\displaystyle t_{1}} tales que P 0 = r 1 ( t 1 ) = r 2 ( t 2 ) {\displaystyle P_{0}=\mathbf {r_{1}} (t_{1})=\mathbf {r_{2}} (t_{2})} . En particular el ángulo formado por las líneas coordenadas asociadas al sistema de coordenadas (u, v) viene dado por:

cos α ( u , v ) = F E G {\displaystyle \cos \alpha _{(u,v)}={\frac {F}{\sqrt {EG}}}}


En particular el sistema de coordenadas se llama ortogonal si las líneas coordenadas son ortogonales (perpendiculares) entre sí en cada punto, eso sucede sí y solo sí F = 0.

Área de una región sobre la superficie

Dada una región Ω contenida en una superficie se define su área como:

A ( Ω ) = Ω E G F 2 d u d v {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}dudv}


Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces lo anterior se puede escribir sencillamente como:

A ( Ω ) = Ω 1 + ( f x ) 2 + ( f y ) 2 d x d y {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy}


La segunda forma fundamental II de una superficie es la proyección sobre el vector normal a la superficie de la derivada covariante inducida por el tensor métrico o primera forma fundamental. Puede probarse, que esta segunda forma fundamental resulta ser un tensor 2-covariante y simétrico (es decir, da lugar a una forma bilineal definida sobre el espacio tangente a la superficie). Por razones históricas las componentes de la segunda forma fundamental se designan por L, M y N:

( I I k l ( u , v ) ) = ( L ( u , v ) M ( u , v ) M ( u , v ) N ( u , v ) ) = ( b 11 ( u , v ) b 12 ( u , v ) b 21 ( u , v ) b 22 ( u , v ) ) {\displaystyle (II_{kl}(u,v))={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}(u,v)&b_{12}(u,v)\\b_{21}(u,v)&b_{22}(u,v)\end{pmatrix}}}


Fijado un entorno de la superficie parametrizado por las variables u , v {\displaystyle u,v\,} la segunda forma fundamental se escribe también, resultando un tensor de rango dos, como la siguiente combinación lineal:

I I = L ( u , v ) d u d u + M ( u , v ) d u d v + M ( u , v ) d v d u + N ( u , v ) d v d v {\displaystyle II=L(u,v)du\otimes du+M(u,v)du\otimes dv+M(u,v)dv\otimes du+N(u,v)dv\otimes dv}

de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas d u , d v {\displaystyle du,dv\,} . Las componentes de la segunda forma fundamental pueden calcularse explícitamente a partir de las coordenadas paramétricas:

L ( u , v ) = b 11 ( u , v ) = n 2 r u 2 = n u r u {\displaystyle L(u,v)=b_{11}(u,v)=\mathbf {n} \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u^{2}}}=-{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}
M ( u , v ) = b 12 ( u , v ) = b 21 ( u , v ) = n 2 r u v = n u r v = n v r u {\displaystyle M(u,v)=b_{12}(u,v)=b_{21}(u,v)=\mathbf {n} \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u\partial v}}=-{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}=-{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}
N ( u , v ) = b 22 ( u , v ) = n 2 r v 2 = n v r v {\displaystyle N(u,v)=b_{22}(u,v)=\mathbf {n} \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial v^{2}}}=-{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}


Cuando se tiene una curva sobre una superficie esta puede ser vista también como curva de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} a la que les son aplicables tanto las fórmulas de la geometría diferencial de curvas como las de la geometría diferencial de superficies. Eso permite relacionar la curvatura total de la curva con la curvatura de la curva vista o medida por un "habitante" de la superficie. En concreto la curvatura total (χγ) de una curva γ(t) puede ser descompuesta entre una componente tangencial a la superficie (y medible dentro de la misma), llamada curvatura geodésica (kg), y una componente perpendicular a la superficie (que depende de cómo está curvada la superficie en el espacio y cuál es la dirección de la curva dentro de la superficie), llamada curvatura normal (kn). De hecho se cumple que:

χ γ 2 = k n 2 + k g 2 {\displaystyle \chi _{\gamma }^{2}=k_{n}^{2}+k_{g}^{2}\,}


Donde la curvatura geodésica y normal pueden calcularse a partir del ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva (nγ):

k n = χ γ cos ξ k g = χ γ sin ξ ξ := arccos ( n γ n ) {\displaystyle k_{n}=\chi _{\gamma }\cos \xi \qquad k_{g}=\chi _{\gamma }\sin \xi \qquad \qquad \xi :=\arccos(\mathbf {n} _{\gamma }\cdot \mathbf {n} )}


La aceleración de cualquier punto material puede ser descompuesta en aceleración tangencial y aceleración normal. Si además el punto se mueve sobre la superficie, la aceleración normal puede descomponerse en aceleración propiamente normal y aceleración geodésica (debida al seguimiento que el punto hace de la superficie):

a = d 2 γ ( t ) d t 2 = d V ( t ) d t t ^ + ( χ γ V 2 ) n ^ γ = d V ( t ) d t t ^ + ( k n V 2 ) n ^ + ( k g V 2 ) n ^ × t ^ {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\gamma (t)}{dt^{2}}}={\frac {dV(t)}{dt}}\mathbf {\hat {t}} +(\chi _{\gamma }V^{2})\mathbf {\hat {n}} _{\gamma }={\frac {dV(t)}{dt}}\mathbf {\hat {t}} +(k_{n}V^{2})\mathbf {\hat {n}} +(k_{g}V^{2})\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {\hat {t}} }


Donde t ^ , n ^ γ , n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} ,\mathbf {\hat {n}} _{\gamma },\mathbf {\hat {n}} } son respectivamente el vector tangente a la curva, el vector normal a la curva y el vector normal a la superficie. Esa ecuación muestra que las líneas geodésicas a la superficie son precisamente aquellas curvas para las cuales su curvatura total coincide con su curvatura normal. Las curvaturas normal y geodésica de una curva sobre una superficie puden calcularse fácilmente a partir de los vectores tangente al a curva y las normales a la curva y la superficie:

k n = I I ( γ ( t ) , γ ( t ) ) I ( γ ( t ) , γ ( t ) ) = L u ( t ) 2 + 2 M u ( t ) v ( t ) + N v ( t ) 2 E u ( t ) 2 + 2 F u ( t ) v ( t ) + G v ( t ) 2 {\displaystyle k_{n}={\frac {II(\gamma '(t),\gamma '(t))}{I(\gamma '(t),\gamma '(t))}}={\frac {Lu'(t)^{2}+2Mu'(t)v'(t)+Nv'(t)^{2}}{Eu'(t)^{2}+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^{2}}}}


k g = n ( γ ( t ) × γ ( t ) ) | | γ ( t ) | | 3 {\displaystyle k_{g}={\frac {\mathbf {n} \cdot (\gamma '(t)\times \gamma ''(t))}{||\gamma '(t)||^{3}}}}

Curvaturas principales

Si se considera un punto P0 de la superficie y toda una colección de curvas contenidas en la superficie que pasan por P0 se observa que la curvatura normal kn de cualquiera de estas curvas en P0 varía entre dos valores extremos k1 < kn < k2. Estos dos valores de hecho son las soluciones ki de la siguiente ecuación:

( E G F 2 ) k i 2 + ( 2 F M E N G L ) k i + ( L N M 2 ) = 0 {\displaystyle (EG-F^{2})k_{i}^{2}+(2FM-EN-GL)k_{i}+(LN-M^{2})=0}


Un punto se llama umbilical si en él k1 = k2. Para un punto no-umbilical P0 las direcciones tangentes a la superficie para las cuales se alcanza el máximo y el mínimo de la curvatura normal son siempre ortogonales. En cada punto estas dos direcciones ortogonales se llaman direcciones principales de curvatura. Una condición necesaria y suficiente para que la dirección dada por un vector V {\displaystyle \mathbf {V} } sea principal es que si:

V = α r ( u , v ) u + β r ( u , v ) v {\displaystyle \mathbf {V} =\alpha {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}+\beta {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}}


Entonces que esa dirección sea dirección principal de curvatura implica que:

( E M L F ) α 2 + ( E N L G ) α β + ( F N M G ) β 2 = 0 {\displaystyle (EM-LF)\alpha ^{2}+(EN-LG)\alpha \beta +(FN-MG)\beta ^{2}=0\,}


Líneas de curvatura

Una línea de curvatura es una curva regular conexa contenida en una superficie regular en la cual todos sus vectores tangentes generan una dirección principal en la superficie.

Tres superficies con curvatura gausiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real K {\displaystyle K} (P0) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

K ( P 0 ) = L N M 2 E G F 2 = b 11 b 22 b 12 2 g 11 g 22 g 12 2 {\displaystyle K(P_{0})={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}={\frac {b_{11}b_{22}-{b_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k1 y k2), mediante la relación K = k1k2.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a K ( S 2 ) = 1 / r 2 > 0 {\displaystyle K(S^{2})=1/r^{2}>0\;} .

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación K : S K ( S ) {\displaystyle K:S\to K(S)} donde K ( S ) C 1 ( S , R ) {\displaystyle K(S)\in C^{1}(S,\mathbb {R} )} (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La forma real de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

N : S S 2 {\displaystyle N\colon S\to S^{2}\qquad } , definido mediante N ( p ) = u × v u × v | p {\displaystyle N(p)={\frac {\partial _{u}\times \partial _{v}}{\|\partial _{u}\times \partial _{v}\|}}|_{p}}


Donde u , v {\displaystyle \partial _{u},\partial _{v}} son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

L ( p ) = N ( p ) : T p S T N ( p ) S 2 {\displaystyle L(p)=N'(p):T_{p}S\to T_{N(p)}S^{2}}

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

K ( p ) = det [ L ( p ) ] {\displaystyle K(p)=\det[L(p)]\,}

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

K = R 1212 g 11 g 22 g 12 2 = h 11 h 22 h 12 2 g 11 g 22 g 12 2 {\displaystyle K={\frac {R_{1212}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}={\frac {h_{11}h_{22}-{h_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es cos v 2 + cos v {\displaystyle {\frac {\cos v}{2+\cos v}}} donde se ha usado la parametrización:

( v , w ) ϕ ( ( 2 + cos v ) cos w , ( 2 + cos v ) sin w , sin v ) {\displaystyle (v,w){\stackrel {\phi }{\to }}((2+\cos v)\cos w,(2+\cos v)\sin w,\sin v)}

Bibliografía

  • Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
  • M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
  • John M. Lee (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98271-X.

Enlaces externos

Geometría diferencial de superficies
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Geometria diferencial de superficies Idioma Vigilar Editar Redirigido desde Primera forma fundamental En matematicas la geometria diferencial de superficies propone definiciones y metodos para analizar la geometria de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y en particular en el espacio euclideo Las curvaturas principales en un punto de una superficie Aqui se tratara de las superficies en R 3 displaystyle mathbb R 3 Indice 1 Ecuacion parametrica de una superficie 1 1 Plano tangente 1 2 Vector normal a la superficie 2 Primera forma fundamental 2 1 Longitud de una curva 2 2 Angulo entre dos curvas 2 3 Area de una region sobre la superficie 3 Segunda forma fundamental 4 Curvatura normal y geodesica 4 1 Curvaturas principales 4 2 Lineas de curvatura 5 Curvatura gaussiana 6 Vease tambien 7 Referencia 7 1 Bibliografia 7 2 Enlaces externosEcuacion parametrica de una superficie EditarPuesto que una superficie en R 3 displaystyle mathbb R 3 es una variedad diferenciable de dimension dos en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en funcion de dos parametros u v que funcionen como sistema de coordenadas propio de la superficie r u v x u v y u v z u v displaystyle mathbf r u v x u v y u v z u v Parametrizacion de una superficie Llamaremos a esta funcion r carta de la superficie Un punto Q u0 v0 se llama regular si en el se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos ni paralelos es decir que son linealmente independientes o equicalentemente que su producto vectorial es no nulo r u 0 v 0 u r u 0 v 0 v 0 displaystyle frac partial mathbf r u 0 v 0 partial u times frac partial mathbf r u 0 v 0 partial v neq mathbf 0 Esto es equivalente a pedir que el jacobiano de la carta r que va desde el dominio V en R 2 displaystyle mathbb R 2 a R 3 displaystyle mathbb R 3 tenga rango maximo es decir sea igual a dos Asi se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie Plano tangente Editar Dada una superficie S displaystyle S de R 3 displaystyle mathbb R 3 y un punto P 0 x 0 y 0 z 0 S displaystyle P 0 x 0 y 0 z 0 in S se define como el unico plano geometrico de R 3 displaystyle mathbb R 3 que contiene al punto P 0 displaystyle P 0 y que contiene a todos los vectores tangentes a la superficie en dicho punto La ecuacion analitica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuacion parametrica de una superficie P S P 0 r u 0 v 0 a r u 0 v 0 u b r u 0 v 0 v a b R displaystyle Pi S P 0 left mathbf r u 0 v 0 alpha frac partial mathbf r u 0 v 0 partial u beta frac partial mathbf r u 0 v 0 partial v alpha beta in mathbb R right Mas sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto x y z displaystyle x y z que satisface la siguiente ecuacion x x 0 y y 0 z z 0 x u P 0 y u P 0 z u P 0 x v P 0 y v P 0 z v P 0 0 displaystyle begin vmatrix x x 0 amp y y 0 amp z z 0 x u P 0 amp y u P 0 amp z u P 0 x v P 0 amp y v P 0 amp z v P 0 end vmatrix 0 Aqui se ha usado la simplificacion de notacion x u x u y u y u displaystyle x u frac partial x partial u y u frac partial y partial u etc Vector normal a la superficie Editar Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial sera perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinacion lineal de ambos es decir perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrizacion de la superficie Asi el vector normal puede calcularse como n r u 0 v 0 u r u 0 v 0 v r u 0 v 0 u r u 0 v 0 v r u u 0 v 0 r v u 0 v 0 r u u 0 v 0 r v u 0 v 0 displaystyle mathbf n frac frac partial mathbf r u 0 v 0 partial u times frac partial mathbf r u 0 v 0 partial v left Vert frac partial mathbf r u 0 v 0 partial u times frac partial mathbf r u 0 v 0 partial v right frac mathbf r u u 0 v 0 times mathbf r v u 0 v 0 left Vert mathbf r u u 0 v 0 times mathbf r v u 0 v 0 right Si se conoce en cambio la ecuacion de la superficie f x y z 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como n f f f x f y f z f x 2 f y 2 f z 2 displaystyle mathbf n frac nabla f left Vert nabla f right frac f x f y f z sqrt f x 2 f y 2 f z 2 Primera forma fundamental EditarLa primera forma fundamental I es un tensor 2 covariante simetrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie S Esta primera forma fundamental de hecho es el tensor metrico inducido por la metrica euclidea sobre la superficie De hecho S I constituye una variedad de Riemann con tensor metrico I Gracias a la primera forma fundamental podemos estimar longitudes de curvas definidas sobre la superficie angulos de interseccion entre curvas y el resto de conceptos metricos habituales Por razones historicas las componentes de la primera forma fundamental se designan por E F y G I k l u v E u v F u v F u v G u v g 11 u v g 12 u v g 21 u v g 22 u v displaystyle I kl u v begin pmatrix E u v amp F u v F u v amp G u v end pmatrix begin pmatrix g 11 u v amp g 12 u v g 21 u v amp g 22 u v end pmatrix Ademas la forma cuadratica anterior es definida positiva lo que implica que EG F2 gt 0 La primera forma anterior puede escribirse como una combinacion lineal de productos tensoriales de las 1 formas coordenadas d u d v displaystyle du dv conforme a I u v E u v d u d u F u v d u d v F u v d v d u G u v d v d v displaystyle I u v E u v du otimes du F u v du otimes dv F u v dv otimes du G u v dv otimes dv Estas pueden calcularse explicitamente a partir de la parametrizacion E u v r u r u r u r u F u v r u r v r u r v G u v r v r v r v r v displaystyle E u v frac partial mathbf r partial u cdot frac partial mathbf r partial u mathbf r u cdot mathbf r u qquad F u v frac partial mathbf r partial u cdot frac partial mathbf r partial v mathbf r u cdot mathbf r v qquad G u v frac partial mathbf r partial v cdot frac partial mathbf r partial v mathbf r v cdot mathbf r v Longitud de una curva Editar Dada una curva C contenida totalmente en una superficie S sus ecuaciones parametricas podran expresarse mediante r t x u t v t y u t v t z u t v t displaystyle mathbf r t left x u t v t y u t v t z u t v t right La longitud de esta curva puede expresarse por una integral de las derivadas de las funciones u y v y las componentes de la primera forma fundamental L C C E u v u t 2 2 F u v u t v t G u v v t 2 d t displaystyle L C int C sqrt E u v u t 2 2F u v u t v t G u v v t 2 dt Angulo entre dos curvas Editar Similarmente dadas dos curvas C1 y C2 que intersecan en un punto P0 y cuyas ecuaciones parametricas son r 1 t x 1 u 1 t v 1 t y 1 u 1 t v 1 t z 1 u 1 t v 1 t displaystyle mathbf r 1 t left x 1 u 1 t v 1 t quad y 1 u 1 t v 1 t quad z 1 u 1 t v 1 t right r 2 t x 2 u 2 t v 2 t y 2 u 2 t v 2 t z 2 u 2 t v 2 t displaystyle mathbf r 2 t left x 2 u 2 t v 2 t quad y 2 u 2 t v 2 t quad z 2 u 2 t v 2 t right El angulo a formado por las dos curvas en el punto de interseccion viene definido por la ecuacion cos a E u 1 u 2 F u 1 v 2 u 2 v 1 G v 1 v 2 E u 1 2 2 F u 1 v 1 G v 1 2 E u 2 2 2 F u 2 v 2 G v 2 2 displaystyle cos alpha frac Eu 1 u 2 F u 1 v 2 u 2 v 1 Gv 1 v 2 sqrt E u 1 2 2Fu 1 v 1 G v 1 2 quad sqrt E u 2 2 2F u 2 v 2 G v 2 2 Donde las derivadas se evaluan para los valores de parametro t 1 displaystyle t 1 y t 1 displaystyle t 1 tales que P 0 r 1 t 1 r 2 t 2 displaystyle P 0 mathbf r 1 t 1 mathbf r 2 t 2 En particular el angulo formado por las lineas coordenadas asociadas al sistema de coordenadas u v viene dado por cos a u v F E G displaystyle cos alpha u v frac F sqrt EG En particular el sistema de coordenadas se llama ortogonal si las lineas coordenadas son ortogonales perpendiculares entre si en cada punto eso sucede si y solo si F 0 Area de una region sobre la superficie Editar Dada una region W contenida en una superficie se define su area como A W W E G F 2 d u d v displaystyle A Omega iint Omega sqrt EG F 2 dudv Si la superficie viene dada por la funcion explicita z f x y entonces lo anterior se puede escribir sencillamente como A W W 1 f x 2 f y 2 d x d y displaystyle A Omega iint Omega sqrt 1 left frac partial f partial x right 2 left frac partial f partial y right 2 dxdy Segunda forma fundamental EditarLa segunda forma fundamental II de una superficie es la proyeccion sobre el vector normal a la superficie de la derivada covariante inducida por el tensor metrico o primera forma fundamental Puede probarse que esta segunda forma fundamental resulta ser un tensor 2 covariante y simetrico es decir da lugar a una forma bilineal definida sobre el espacio tangente a la superficie Por razones historicas las componentes de la segunda forma fundamental se designan por L M y N I I k l u v L u v M u v M u v N u v b 11 u v b 12 u v b 21 u v b 22 u v displaystyle II kl u v begin pmatrix L u v amp M u v M u v amp N u v end pmatrix begin pmatrix b 11 u v amp b 12 u v b 21 u v amp b 22 u v end pmatrix Fijado un entorno de la superficie parametrizado por las variables u v displaystyle u v la segunda forma fundamental se escribe tambien resultando un tensor de rango dos como la siguiente combinacion lineal I I L u v d u d u M u v d u d v M u v d v d u N u v d v d v displaystyle II L u v du otimes du M u v du otimes dv M u v dv otimes du N u v dv otimes dv de productos tensoriales de las 1 formas coordenadas d u d v displaystyle du dv Las componentes de la segunda forma fundamental pueden calcularse explicitamente a partir de las coordenadas parametricas L u v b 11 u v n 2 r u 2 n u r u displaystyle L u v b 11 u v mathbf n cdot frac partial 2 mathbf r partial u 2 frac partial mathbf n partial u cdot frac partial mathbf r partial u M u v b 12 u v b 21 u v n 2 r u v n u r v n v r u displaystyle M u v b 12 u v b 21 u v mathbf n cdot frac partial 2 mathbf r partial u partial v frac partial mathbf n partial u cdot frac partial mathbf r partial v frac partial mathbf n partial v cdot frac partial mathbf r partial u N u v b 22 u v n 2 r v 2 n v r v displaystyle N u v b 22 u v mathbf n cdot frac partial 2 mathbf r partial v 2 frac partial mathbf n partial v cdot frac partial mathbf r partial v Curvatura normal y geodesica EditarCuando se tiene una curva sobre una superficie esta puede ser vista tambien como curva de R 3 displaystyle mathbb R 3 a la que les son aplicables tanto las formulas de la geometria diferencial de curvas como las de la geometria diferencial de superficies Eso permite relacionar la curvatura total de la curva con la curvatura de la curva vista o medida por un habitante de la superficie En concreto la curvatura total xg de una curva g t puede ser descompuesta entre una componente tangencial a la superficie y medible dentro de la misma llamada curvatura geodesica kg y una componente perpendicular a la superficie que depende de como esta curvada la superficie en el espacio y cual es la direccion de la curva dentro de la superficie llamada curvatura normal kn De hecho se cumple que x g 2 k n 2 k g 2 displaystyle chi gamma 2 k n 2 k g 2 Donde la curvatura geodesica y normal pueden calcularse a partir del angulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva ng k n x g cos 3 k g x g sin 3 3 arccos n g n displaystyle k n chi gamma cos xi qquad k g chi gamma sin xi qquad qquad xi arccos mathbf n gamma cdot mathbf n La aceleracion de cualquier punto material puede ser descompuesta en aceleracion tangencial y aceleracion normal Si ademas el punto se mueve sobre la superficie la aceleracion normal puede descomponerse en aceleracion propiamente normal y aceleracion geodesica debida al seguimiento que el punto hace de la superficie a d 2 g t d t 2 d V t d t t x g V 2 n g d V t d t t k n V 2 n k g V 2 n t displaystyle mathbf a frac d 2 gamma t dt 2 frac dV t dt mathbf hat t chi gamma V 2 mathbf hat n gamma frac dV t dt mathbf hat t k n V 2 mathbf hat n k g V 2 mathbf hat n times mathbf hat t Donde t n g n displaystyle mathbf hat t mathbf hat n gamma mathbf hat n son respectivamente el vector tangente a la curva el vector normal a la curva y el vector normal a la superficie Esa ecuacion muestra que las lineas geodesicas a la superficie son precisamente aquellas curvas para las cuales su curvatura total coincide con su curvatura normal Las curvaturas normal y geodesica de una curva sobre una superficie puden calcularse facilmente a partir de los vectores tangente al a curva y las normales a la curva y la superficie k n I I g t g t I g t g t L u t 2 2 M u t v t N v t 2 E u t 2 2 F u t v t G v t 2 displaystyle k n frac II gamma t gamma t I gamma t gamma t frac Lu t 2 2Mu t v t Nv t 2 Eu t 2 2Fu t v t Gv t 2 k g n g t g t g t 3 displaystyle k g frac mathbf n cdot gamma t times gamma t gamma t 3 Curvaturas principales Editar Si se considera un punto P0 de la superficie y toda una coleccion de curvas contenidas en la superficie que pasan por P0 se observa que la curvatura normal kn de cualquiera de estas curvas en P0 varia entre dos valores extremos k1 lt kn lt k2 Estos dos valores de hecho son las soluciones ki de la siguiente ecuacion E G F 2 k i 2 2 F M E N G L k i L N M 2 0 displaystyle EG F 2 k i 2 2FM EN GL k i LN M 2 0 Un punto se llama umbilical si en el k1 k2 Para un punto no umbilical P0 las direcciones tangentes a la superficie para las cuales se alcanza el maximo y el minimo de la curvatura normal son siempre ortogonales En cada punto estas dos direcciones ortogonales se llaman direcciones principales de curvatura Una condicion necesaria y suficiente para que la direccion dada por un vector V displaystyle mathbf V sea principal es que si V a r u v u b r u v v displaystyle mathbf V alpha frac partial mathbf r u v partial u beta frac partial mathbf r u v partial v Entonces que esa direccion sea direccion principal de curvatura implica que E M L F a 2 E N L G a b F N M G b 2 0 displaystyle EM LF alpha 2 EN LG alpha beta FN MG beta 2 0 Lineas de curvatura Editar Una linea de curvatura es una curva regular conexa contenida en una superficie regular en la cual todos sus vectores tangentes generan una direccion principal en la superficie Curvatura gaussiana Editar Tres superficies con curvatura gausiana negativa izquierda cero centro y positiva derecha La curvatura gaussiana de una superficie es un numero real K displaystyle K P0 que mide la curvatura intrinseca en cada punto regular P0 de una superficie Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie K P 0 L N M 2 E G F 2 b 11 b 22 b 12 2 g 11 g 22 g 12 2 displaystyle K P 0 frac LN M 2 EG F 2 frac b 11 b 22 b 12 2 g 11 g 22 g 12 2 Esta curvatura gaussiana en general varia de un punto a otro de la superficie y esta relacionada con las curvaturas principales de cada punto k1 y k2 mediante la relacion K k1k2 Un caso interesante de superficie es la esfera que tiene la misma curvatura en todos sus puntos Calculando la curvatura de Gauss de una esfera 2 esfera A partir de la formula anterior se llega facilmente a que para una esfera de radio r la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a K S 2 1 r 2 gt 0 displaystyle K S 2 1 r 2 gt 0 Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante la curvatura gaussiana debe verse como una relacion K S K S displaystyle K S to K S donde K S C 1 S R displaystyle K S in C 1 S mathbb R una funcion diferenciable sobre S que asigna a cada superficie su funcion de curvatura gaussiana La forma real de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma del ingles shape operator de la superficie S N S S 2 displaystyle N colon S to S 2 qquad definido mediante N p u v u v p displaystyle N p frac partial u times partial v partial u times partial v p dd Donde u v displaystyle partial u partial v son los vectores tangentes coordenados y estan siendo evaluados en la posicion p Con la derivada jacobiano del operador de forma L p N p T p S T N p S 2 displaystyle L p N p T p S to T N p S 2 uno obtiene una transformacion lineal auto adjunta llamada transformacion de Weingarten y asi la curvatura gaussiana es determinante de L i e K p det L p displaystyle K p det L p Es relativamente facil verificar que coincide con la definicion dada arriba En terminos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2 variedad diferenciables uno encuentra la relacion K R 1212 g 11 g 22 g 12 2 h 11 h 22 h 12 2 g 11 g 22 g 12 2 displaystyle K frac R 1212 g 11 g 22 g 12 2 frac h 11 h 22 h 12 2 g 11 g 22 g 12 2 Ejemplo la curvatura gaussiana de un toro es cos v 2 cos v displaystyle frac cos v 2 cos v donde se ha usado la parametrizacion v w ϕ 2 cos v cos w 2 cos v sin w sin v displaystyle v w stackrel phi to 2 cos v cos w 2 cos v sin w sin v Vease tambien EditarGeometria diferencial de curvasReferencia EditarBibliografia Editar Girbau J Geometria diferencial i relativitat Ed Universitat Autonoma de Catalunya 1993 ISBN 84 7929 776 X Spiegel M amp Abellanas L Formulas y tablas de matematica aplicada Ed McGraw Hill 1988 ISBN 84 7615 197 7 M do Carmo Differential geometry of curves and surfaces John M Lee 1997 Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Graduate Texts in Mathematics 176 Springer Verlag ISBN 0 387 98271 X Enlaces externos Editar Portal Matematica Contenido relacionado con Matematica Enciclopedia en linea de Springer Verlag 1 Datos Q2502381 Multimedia Differential geometry of surfacesObtenido de https es wikipedia org w index php title Geometria diferencial de superficies amp oldid 135447324 Primera forma fundamental, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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