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Precesión

Para la descripción de uno de los movimientos del planeta Tierra, véase Precesión de los equinoccios.
Para la precesión de una órbita o de su perihelio, véase Variaciones orbitales.

La precesión o movimiento de precesión es el movimiento asociado con el cambio de dirección en el espacio, que experimenta el eje instantáneo de rotación de un cuerpo.

Un ejemplo de precesión lo tenemos en el movimiento que realiza una peonza o trompo en rotación. Cuando su eje de rotación no es vertical, la peonza posee un movimiento de «cabeceo» similar al de precesión.

Más exactamente una precesión pura es aquel movimiento del eje de rotación que mantiene su segundo ángulo de Euler (nutación) constante. Este movimiento de nutación también se da en el eje de la Tierra.

Hay dos tipos de precesión: la precesión debida a los momentos externos, y la precesión sin momentos de fuerzas externos.

Índice

Este movimiento ocurre cuando un cuerpo está en movimiento alrededor de un eje que no es ni el de máximo momento de inercia ni el de menor momento de inercia. La precesión puede estar acompañada de otros movimientos propios de los cuerpos en rotación como la nutación. Hay un tipo especial de curvas sobre la superficie del objeto, llamadas polodia​ y herpolodia, las cuales describen el movimiento del mismo.

Ángulos usados para describir la orientación de la peonza.

Precesión en un sólido de revolución

Se llama peonza simétrica en movimiento libre a un sólido rígido de revolución, con dos de sus momentos de inercia principales iguales I 1 = I 2 I 3 {\displaystyle I_{1}=I_{2}\neq I_{3}} . Como en una peonza simétrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2, conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la línea nodal de los ángulos de Euler lo cual equivale a que ψ = 0.

Lo cual lleva a que las velocidades angulares en el sistema de referencia no inercial vengan dadas por:

ω = { ω 1 ω 2 ω 3 } = { θ ˙ ϕ ˙ sin θ ϕ ˙ cos θ + ψ ˙ } {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{Bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\sin \theta \\{\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\end{Bmatrix}}}

La energía cinética de rotación de una peonza simétrica ( I 1 = I 2 I 3 {\displaystyle \scriptstyle I_{1}=I_{2}\neq I_{3}} ) puede expresarse en términos de los ángulos de Euler sencillamente:

E c = 1 2 ( I 1 ω 1 2 + I 2 ω 2 2 + I 3 ω 3 2 ) = I 1 2 ( ϕ ˙ 2 sin 2 θ + θ ˙ 2 ) + I 3 2 ( ϕ ˙ cos θ + ψ ˙ ) 2 {\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\left(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}\right)={\frac {I_{1}}{2}}\left({\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}\right)+{\frac {I_{3}}{2}}\left({\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}}

Por otro lado si se toma el eje Z del sistema de referencia alineado con el momento angular del sólido rígido se tiene que las componentes del momento angular y la relación con la velocidad angular son:

L = { 0 L sin θ L cos θ } = [ I 1 0 0 0 I 1 0 0 0 I 3 ] { ω 1 ω 2 ω 3 } = { I 1 θ ˙ I 1 ϕ ˙ sin θ I 3 ( ϕ ˙ cos θ + ψ ˙ ) } {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{Bmatrix}0\\L\sin \theta \\L\cos \theta \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{1}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}I_{1}{\dot {\theta }}\\I_{1}{\dot {\phi }}\sin \theta \\I_{3}({\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }})\end{Bmatrix}}}

Escribiendo componente a componente estas ecuaciones se tiene que:

θ ˙ = 0 I 1 ϕ ˙ = L I 3 ω 3 = I 3 ( ϕ ˙ cos θ + ψ ˙ ) = L cos θ {\displaystyle {\dot {\theta }}=0\qquad I_{1}{\dot {\phi }}=L\qquad I_{3}\omega _{3}=I_{3}({\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }})=L\cos \theta }

La primera ecuación nos dice que en el movimiento libre de una peonza simétrica esta no cabecea; es decir, no hay movimiento de nutación ya que el ángulo formado por el eje de rotación y el momento angular se mantiene constante en el movimiento. La segunda describe el movimiento de precesión de acuerdo con el cual el eje de rotación (que coincide con la dirección de la velocidad angular) gira alrededor de la dirección del momento angular (eje Z). La tercera ecuación da la velocidad de rotación del sólido alrededor de su tercer eje de inercia.

Giroscopio

Recordemos que el momento angular es un vector que tiene como módulo, el producto del momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación, multiplicado por la velocidad angular. La dirección del vector es la misma que la del vector asociado a la velocidad angular y está dada por la regla de la mano derecha. La ecuación de base del momento angular de un cuerpo es:

d L d t = M {\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\mathbf {\mathbf {M} } }

donde L {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }} es el momento angular del cuerpo y M {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {M} }} es el momento de fuerza aplicado al cuerpo. Esta ecuación corresponde, en el movimiento lineal, a la ecuación F = d p d t {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {F} ={d\mathbf {p} \over dt}}} donde F {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {F} }} es la fuerza aplicada a un cuerpo y p = m v {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {p} =m\mathbf {v} }} es el momento lineal del cuerpo.

Cuando el momento de fuerza es paralelo al momento angular, o sea, paralelo al eje de rotación, nada cambia en la rotación. En cambio, una componente del momento, perpendicular al eje de rotación, no cambia el módulo de la velocidad angular sino su dirección, es decir la dirección del eje de rotación del cuerpo.

Consideremos el cuerpo en rotación de la imagen de derecha. Cuando se le aplica un momento dinámico como el indicado por las fuerzas dibujadas, la dirección de la variación del momento angular es la indicada en el dibujo. Esta variación es perpendicular al momento angular y paralela al momento. La variación de L {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }} durante un intervalo de tiempo Δ t {\displaystyle \scriptstyle {\Delta t}} es:

Δ L = M Δ t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\mathbf {M} \Delta t}

Nótese que Δ L {\displaystyle \Delta \mathbf {L} \,} tiene la misma dirección que M {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {M} }} . El ángulo Δ ϕ {\displaystyle \scriptstyle {\Delta \phi }} que el nuevo momento angular L + Δ L {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} +\Delta \mathbf {L} }} hace con el precedente L {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }} cumple que:

tan Δ ϕ = Δ L L {\displaystyle \tan {\Delta \phi }={\Delta L \over L}}

Si el cociente Δ L L {\displaystyle \scriptstyle {\Delta L \over L}} es pequeño (e. g. menor a 5 ° en magnitud, típicamente causado por un intervalo de tiempo Δ t {\displaystyle \scriptstyle {\Delta t}} pequeño), el ángulo Δ ϕ {\displaystyle \scriptstyle {\Delta \phi }} se puede obtener de la aproximación de la ecuación anterior mostrada a continuación:

Δ ϕ Δ L L {\displaystyle \Delta \phi \approx {\Delta L \over L}}

La velocidad de precesión del giroscopio es la velocidad angular del vector L {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }} que es la misma que la del eje de rotación de este último:

Velocidad de precesión = Ω = Δ ϕ Δ t = M L {\displaystyle =\Omega ={\Delta \phi \over \Delta t}={M \over L}}

La velocidad de precesión es una velocidad angular y se mide en radianes/segundo.

La velocidad de precesión es tanto más pequeña cuanto más grande es el momento angular del cuerpo.

La precesión puede explicarse intuitivamente por el "modelo de rueda cuadrada".

Trompo o peonza

Artículo principal: Trompo
Figura 1.

Si el eje de rotación del trompo, z, forma un cierto ángulo ϕ {\displaystyle \,\phi } con la vertical, como ocurre generalmente, dicho eje se mueve en el espacio generando una superficie cónica de revolución en torno al eje vertical fijo Z. Este movimiento del eje de rotación recibe el nombre de precesión de la peonza y el eje Z es el eje de precesión. Generalmente, el ángulo ϕ {\displaystyle \,\phi } varía periódicamente durante el movimiento de precesión de la peonza, de modo que el eje de rotación oscila acercándose y alejándose del eje de precesión (décimos que el trompo cabecea); a este movimiento se le llama nutación y al ángulo ϕ {\displaystyle \,\phi } se le llama ángulo de nutación. En el estudio elemental que sigue no tendremos en cuenta este último movimiento; i.e., consideraremos un ángulo de nutación constante.

Utilizaremos dos referenciales para describir el movimiento del trompo. Uno de ellos es el referencial fijo XYZ, con origen en el punto O (estacionario) del eje de rotación del trompo. El otro referencial es el referencial móvil xyz, cuyo origen es también el punto O (estacionario). Haremos coincidir el eje z con el eje de rotación del trompo; el eje x lo elegimos de modo que permanezca siempre horizontal, contenido en el plano XY. El ángulo ψ {\displaystyle \,\psi } que forma en cada instante el eje x con el eje X recibe el nombre de [[ángulo de precesión]]. En consecuencia, el eje y estará siempre contenido en el plano definido por los ejes z y Z, como se muestra en la Figura 1, formando un ángulo ϕ {\displaystyle \,\phi } con el plano XY. Obsérvese que el referencial xyz no es solidario con el trompo, i.e., no es arrastrado por la rotación de este, sino que presenta una rotación con respecto al referencial fijo XYZ con una cierta velocidad angular Ω {\displaystyle \,\Omega } llamada velocidad angular de precesión.

Como al aplicar la ecuación del movimiento de rotación del sólido rígido, M = dL/dt, tanto el momento externo (M) como el momento angular (L) deben estar referidos a un mismo punto fijo en un referencial inercial (o al CM del cuerpo), tomaremos el punto O como origen o centro de reducción.

Figura 2.

Puesto que el trompo está girando, con una velocidad angular intrínseca ω, alrededor del eje principal de inercia z, su momento angular será paralelo a la velocidad angular (o sea, será paralelo al eje z), y viene dado por

(1) L = I z z ω {\displaystyle L=I_{zz}\omega \,}

Por otra parte, el momento externo que actúa sobre el trompo se debe al peso mg que actúa en el centro de gravedad G y es igual al producto vectorial

(2) M = OG × m g {\displaystyle \mathbf {M} ={\mbox{OG}}\times m\mathbf {g} \,}

de modo que el momento externo M resulta ser perpendicular al eje de rotación, o sea que M L {\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {\bot } \mathbf {L} } . El módulo del momento aplicado es

(3) M = m g h sin ϕ {\displaystyle M=mgh\sin \phi \,}

siendo h=OG la distancia entre el punto estacionario del trompo (el extremo de su púa) y el centro de gravedad del mismo. La dirección de M es la del eje x.

Como el momento externo aplicado al trompo no es nulo, el momento angular no permanecerá constante. Durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt el cambio infinitesimal experimentado por el momento angular vale

(4) d L = M d t {\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {M} dt}

de modo que el cambio dL en el momento angular tiene siempre la misma dirección que el momento aplicado M (del mismo modo que el cambio en la cantidad de movimiento tiene siempre la misma dirección que la fuerza). Como el momento M es perpendicular al momento angular L, el cambio dL en el momento angular también es perpendicular a L. Por consiguiente, el vector momento angular cambia de dirección, pero su módulo permanece constante (figura 2). Naturalmente, puesto que el momento angular tiene siempre la dirección del eje de rotación este cambiará también su orientación en el espacio en el transcurso del tiempo.

El extremo del momento angular L describe una circunferencia, de radio L sin ϕ {\displaystyle \,L\sin \phi } , alrededor del eje fijo Z y en un tiempo dt dicho radio experimenta un desplazamiento angular dψ. La velocidad angular de precesión Ω se define como la velocidad angular con la que gira el eje z en torno al eje fijo Z. Esto es

(5) Ω = d ψ d t {\displaystyle \Omega ={\frac {d\psi }{dt}}}

y está representado por un vector situado sobre eje Z.

Puesto que L es un vector de módulo constante que precesa alrededor del eje Z con una velocidad angular Ω, podemos escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación en la forma

(6) M = d L d t = Ω × L {\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L} }

obteniéndose para el módulo del momento

(7) M = Ω L sin ϕ {\displaystyle M=\Omega L\sin \phi \,}

expresión de la que despejaremos Ω para tener

(8) Ω = M L sin ϕ = m g h L = m g h I z z ω {\displaystyle \Omega ={\frac {M}{L\sin \phi }}={\frac {mgh}{L}}={\frac {mgh}{I_{zz}\omega }}}

donde hemos sustituido las expresiones (1) y (2) para el momento angular y el momento, respectivamente. La velocidad angular de precesión, Ω, resulta ser inversamente proporcional al momento angular (L) o a la velocidad angular intrínseca (ω), de modo que si este o esta es grande, aquella será pequeña.

Obsérvese que la velocidad angular de precesión no depende del ángulo de inclinación del trompo. Esta propiedad es muy importante en el fundamento de la resonancia magnética nuclear y de sus aplicaciones.

Pero, ¿por qué no cae el trompo? La respuesta es que la fuerza vertical ejercida sobre él por el suelo (en el extremo O de la púa) es exactamente igual al peso del trompo, de modo que la fuerza resultante vertical es nula. La componente vertical de la cantidad de movimiento permanecerá constante pero, debido a que el momento no es nulo, el momento angular cambia con el tiempo. Si el trompo no estuviera en rotación, al abandonarlo no habría momento angular y al cabo de un intervalo de tiempo infinitesimal, dt, el momento angular dL adquirido, en virtud del par de fuerzas que actúa sobre él, tendría la misma dirección que el vector M; esto es, que caería. Pero si el trompo se encuentra inicialmente en rotación, la variación del momento angular, dL, producida por el par, se suma vectorialmente al momento angular que ya tiene, y puesto que dL es horizontal y perpendicular a L, el resultado es el movimiento de precesión anteriormente descrito.

Figura 3.

Los resultados obtenidos en nuestra discusión del movimiento del trompo son solamente aproximados. Son correctos si ω es muy grande en comparación con Ω (situación compatible con la ec. [7]). La razón es que si el trompo está precesando en torno al eje fijo vertical Z tendrá un momento angular con respecto a dicho eje, de modo que el momento angular total no será simplemente Izzω, como supusimos. Sin embargo, si la precesión es muy lenta, el momento angular correspondiente a esa precesión puede despreciarse, como implícitamente hemos hecho en nuestros cálculos anteriores.

Por otra parte, una discusión más detallada nos mostraría que en general el ángulo de nutación ϕ {\displaystyle \,\phi } no permanece constante, sino que oscila entre dos valores fijos, de modo que el extremo del vector L, al mismo tiempo que precesa alrededor de Z, oscila entre dos círculos, como se muestra en la figura 3, describiendo la trayectoria indicada.

Para comprender el porqué de estas oscilaciones deberemos considerar el modo en que se origina el movimiento de precesión. Si inicialmente mantenemos fija la orientación del eje de rotación z (apoyando su extremo superior) el peso del trompo estará compensado por la reacción normal N en el punto O más la reacción normal en el apoyo del extremo superior del eje, de modo que resultará ser N < mg. Si una vez que el trompo ha adquirido un rápido movimiento de rotación, abandonamos el eje, entonces, aún un instante después será N < mg, de modo que tenemos una fuerza resultante vertical y dirigida hacia abajo. El trompo comienza a caer, pero en ese instante comienza la precesión. Como consecuencia del movimiento de caída, la púa del trompo se apoya en el suelo con más fuerza, de modo que aumenta la fuerza de reacción vertical N, que finalmente llegará a ser mayor que el peso. Cuando esto sucede, el centro de masa del trompo comienza a acelerar hacia arriba. El proceso se repite, y el movimiento se compone de una precesión acompañada de una oscilación del eje de rotación hacia abajo y hacia arriba, que recibe el nombre de nutación. La nutación, al igual que la precesión, contribuye al momento angular total, pero en general su contribución es aún menor que la de la precesión.

Véase también

  1. La representación gráfica de las posiciones del polo con respecto a la Tierra.
  2. Polhode story
  3. Hantz, Péter; Lázár, Zsolt I. (2019). «Precession intuitively explained». Frontiers in Physics 7. doi:10.3389/fphy.2019.00005.

Bibliografía

Precesión
precesión, idioma, vigilar, editar, para, descripción, movimientos, planeta, tierra, véase, equinoccios, para, precesión, órbita, perihelio, véase, variaciones, orbitales, precesión, movimiento, precesión, movimiento, asociado, cambio, dirección, espacio, expe. Precesion Idioma Vigilar Editar Para la descripcion de uno de los movimientos del planeta Tierra vease Precesion de los equinoccios Para la precesion de una orbita o de su perihelio vease Variaciones orbitales La precesion o movimiento de precesion es el movimiento asociado con el cambio de direccion en el espacio que experimenta el eje instantaneo de rotacion de un cuerpo Un ejemplo de precesion lo tenemos en el movimiento que realiza una peonza o trompo en rotacion Cuando su eje de rotacion no es vertical la peonza posee un movimiento de cabeceo similar al de precesion Mas exactamente una precesion pura es aquel movimiento del eje de rotacion que mantiene su segundo angulo de Euler nutacion constante Este movimiento de nutacion tambien se da en el eje de la Tierra Hay dos tipos de precesion la precesion debida a los momentos externos y la precesion sin momentos de fuerzas externos Indice 1 Precesion sin momentos externos 2 Precesion debida a momentos externos 2 1 Precesion en un solido de revolucion 2 2 Giroscopio 2 3 Trompo o peonza 2 4 Vease tambien 3 Referencias 3 1 BibliografiaPrecesion sin momentos externos EditarEste movimiento ocurre cuando un cuerpo esta en movimiento alrededor de un eje que no es ni el de maximo momento de inercia ni el de menor momento de inercia La precesion puede estar acompanada de otros movimientos propios de los cuerpos en rotacion como la nutacion Hay un tipo especial de curvas sobre la superficie del objeto llamadas polodia 1 2 y herpolodia las cuales describen el movimiento del mismo Precesion debida a momentos externos Editar Angulos usados para describir la orientacion de la peonza Precesion en un solido de revolucion Editar Se llama peonza simetrica en movimiento libre a un solido rigido de revolucion con dos de sus momentos de inercia principales iguales I 1 I 2 I 3 displaystyle I 1 I 2 neq I 3 Como en una peonza simetrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2 conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la linea nodal de los angulos de Euler lo cual equivale a que ps 0 Lo cual lleva a que las velocidades angulares en el sistema de referencia no inercial vengan dadas por w w 1 w 2 w 3 8 ϕ sin 8 ϕ cos 8 ps displaystyle boldsymbol omega begin Bmatrix omega 1 omega 2 omega 3 end Bmatrix begin Bmatrix dot theta dot phi sin theta dot phi cos theta dot psi end Bmatrix La energia cinetica de rotacion de una peonza simetrica I 1 I 2 I 3 displaystyle scriptstyle I 1 I 2 neq I 3 puede expresarse en terminos de los angulos de Euler sencillamente E c 1 2 I 1 w 1 2 I 2 w 2 2 I 3 w 3 2 I 1 2 ϕ 2 sin 2 8 8 2 I 3 2 ϕ cos 8 ps 2 displaystyle E c frac 1 2 left I 1 omega 1 2 I 2 omega 2 2 I 3 omega 3 2 right frac I 1 2 left dot phi 2 sin 2 theta dot theta 2 right frac I 3 2 left dot phi cos theta dot psi right 2 Por otro lado si se toma el eje Z del sistema de referencia alineado con el momento angular del solido rigido se tiene que las componentes del momento angular y la relacion con la velocidad angular son L 0 L sin 8 L cos 8 I 1 0 0 0 I 1 0 0 0 I 3 w 1 w 2 w 3 I 1 8 I 1 ϕ sin 8 I 3 ϕ cos 8 ps displaystyle mathbf L begin Bmatrix 0 L sin theta L cos theta end Bmatrix begin bmatrix I 1 amp 0 amp 0 0 amp I 1 amp 0 0 amp 0 amp I 3 end bmatrix begin Bmatrix omega 1 omega 2 omega 3 end Bmatrix begin Bmatrix I 1 dot theta I 1 dot phi sin theta I 3 dot phi cos theta dot psi end Bmatrix Escribiendo componente a componente estas ecuaciones se tiene que 8 0 I 1 ϕ L I 3 w 3 I 3 ϕ cos 8 ps L cos 8 displaystyle dot theta 0 qquad I 1 dot phi L qquad I 3 omega 3 I 3 dot phi cos theta dot psi L cos theta La primera ecuacion nos dice que en el movimiento libre de una peonza simetrica esta no cabecea es decir no hay movimiento de nutacion ya que el angulo formado por el eje de rotacion y el momento angular se mantiene constante en el movimiento La segunda describe el movimiento de precesion de acuerdo con el cual el eje de rotacion que coincide con la direccion de la velocidad angular gira alrededor de la direccion del momento angular eje Z La tercera ecuacion da la velocidad de rotacion del solido alrededor de su tercer eje de inercia Giroscopio Editar Recordemos que el momento angular es un vector que tiene como modulo el producto del momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotacion multiplicado por la velocidad angular La direccion del vector es la misma que la del vector asociado a la velocidad angular y esta dada por la regla de la mano derecha La ecuacion de base del momento angular de un cuerpo es d L d t M displaystyle d mathbf L over dt mathbf mathbf M donde L displaystyle scriptstyle mathbf L es el momento angular del cuerpo y M displaystyle scriptstyle mathbf M es el momento de fuerza aplicado al cuerpo Esta ecuacion corresponde en el movimiento lineal a la ecuacion F d p d t displaystyle scriptstyle mathbf F d mathbf p over dt donde F displaystyle scriptstyle mathbf F es la fuerza aplicada a un cuerpo y p m v displaystyle scriptstyle mathbf p m mathbf v es el momento lineal del cuerpo Cuando el momento de fuerza es paralelo al momento angular o sea paralelo al eje de rotacion nada cambia en la rotacion En cambio una componente del momento perpendicular al eje de rotacion no cambia el modulo de la velocidad angular sino su direccion es decir la direccion del eje de rotacion del cuerpo Consideremos el cuerpo en rotacion de la imagen de derecha Cuando se le aplica un momento dinamico como el indicado por las fuerzas dibujadas la direccion de la variacion del momento angular es la indicada en el dibujo Esta variacion es perpendicular al momento angular y paralela al momento La variacion de L displaystyle scriptstyle mathbf L durante un intervalo de tiempo D t displaystyle scriptstyle Delta t es D L M D t displaystyle Delta mathbf L mathbf M Delta t Notese que D L displaystyle Delta mathbf L tiene la misma direccion que M displaystyle scriptstyle mathbf M El angulo D ϕ displaystyle scriptstyle Delta phi que el nuevo momento angular L D L displaystyle scriptstyle mathbf L Delta mathbf L hace con el precedente L displaystyle scriptstyle mathbf L cumple que tan D ϕ D L L displaystyle tan Delta phi Delta L over L Si el cociente D L L displaystyle scriptstyle Delta L over L es pequeno e g menor a 5 en magnitud tipicamente causado por un intervalo de tiempo D t displaystyle scriptstyle Delta t pequeno el angulo D ϕ displaystyle scriptstyle Delta phi se puede obtener de la aproximacion de la ecuacion anterior mostrada a continuacion D ϕ D L L displaystyle Delta phi approx Delta L over L La velocidad de precesion del giroscopio es la velocidad angular del vector L displaystyle scriptstyle mathbf L que es la misma que la del eje de rotacion de este ultimo Velocidad de precesion W D ϕ D t M L displaystyle Omega Delta phi over Delta t M over L La velocidad de precesion es una velocidad angular y se mide en radianes segundo La velocidad de precesion es tanto mas pequena cuanto mas grande es el momento angular del cuerpo La precesion puede explicarse intuitivamente por el modelo de rueda cuadrada 3 Trompo o peonza Editar Articulo principal Trompo Figura 1 Si el eje de rotacion del trompo z forma un cierto angulo ϕ displaystyle phi con la vertical como ocurre generalmente dicho eje se mueve en el espacio generando una superficie conica de revolucion en torno al eje vertical fijo Z Este movimiento del eje de rotacion recibe el nombre de precesion de la peonza y el eje Z es el eje de precesion Generalmente el angulo ϕ displaystyle phi varia periodicamente durante el movimiento de precesion de la peonza de modo que el eje de rotacion oscila acercandose y alejandose del eje de precesion decimos que el trompo cabecea a este movimiento se le llama nutacion y al angulo ϕ displaystyle phi se le llama angulo de nutacion En el estudio elemental que sigue no tendremos en cuenta este ultimo movimiento i e consideraremos un angulo de nutacion constante Utilizaremos dos referenciales para describir el movimiento del trompo Uno de ellos es el referencial fijo XYZ con origen en el punto O estacionario del eje de rotacion del trompo El otro referencial es el referencial movil xyz cuyo origen es tambien el punto O estacionario Haremos coincidir el eje z con el eje de rotacion del trompo el eje x lo elegimos de modo que permanezca siempre horizontal contenido en el plano XY El angulo ps displaystyle psi que forma en cada instante el eje x con el eje X recibe el nombre de angulo de precesion En consecuencia el eje y estara siempre contenido en el plano definido por los ejes z y Z como se muestra en la Figura 1 formando un angulo ϕ displaystyle phi con el plano XY Observese que el referencial xyz no es solidario con el trompo i e no es arrastrado por la rotacion de este sino que presenta una rotacion con respecto al referencial fijo XYZ con una cierta velocidad angular W displaystyle Omega llamada velocidad angular de precesion Como al aplicar la ecuacion del movimiento de rotacion del solido rigido M dL dt tanto el momento externo M como el momento angular L deben estar referidos a un mismo punto fijo en un referencial inercial o al CM del cuerpo tomaremos el punto O como origen o centro de reduccion Figura 2 Puesto que el trompo esta girando con una velocidad angular intrinseca w alrededor del eje principal de inercia z su momento angular sera paralelo a la velocidad angular o sea sera paralelo al eje z y viene dado por 1 L I z z w displaystyle L I zz omega Por otra parte el momento externo que actua sobre el trompo se debe al peso mg que actua en el centro de gravedad G y es igual al producto vectorial 2 M OG m g displaystyle mathbf M mbox OG times m mathbf g de modo que el momento externo M resulta ser perpendicular al eje de rotacion o sea que M L displaystyle mathbf M mathbf bot mathbf L El modulo del momento aplicado es 3 M m g h sin ϕ displaystyle M mgh sin phi siendo h OG la distancia entre el punto estacionario del trompo el extremo de su pua y el centro de gravedad del mismo La direccion de M es la del eje x Como el momento externo aplicado al trompo no es nulo el momento angular no permanecera constante Durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt el cambio infinitesimal experimentado por el momento angular vale 4 d L M d t displaystyle d mathbf L mathbf M dt de modo que el cambio dL en el momento angular tiene siempre la misma direccion que el momento aplicado M del mismo modo que el cambio en la cantidad de movimiento tiene siempre la misma direccion que la fuerza Como el momento M es perpendicular al momento angular L el cambio dL en el momento angular tambien es perpendicular a L Por consiguiente el vector momento angular cambia de direccion pero su modulo permanece constante figura 2 Naturalmente puesto que el momento angular tiene siempre la direccion del eje de rotacion este cambiara tambien su orientacion en el espacio en el transcurso del tiempo El extremo del momento angular L describe una circunferencia de radio L sin ϕ displaystyle L sin phi alrededor del eje fijo Z y en un tiempo dt dicho radio experimenta un desplazamiento angular dps La velocidad angular de precesion W se define como la velocidad angular con la que gira el eje z en torno al eje fijo Z Esto es 5 W d ps d t displaystyle Omega frac d psi dt y esta representado por un vector situado sobre eje Z Puesto que L es un vector de modulo constante que precesa alrededor del eje Z con una velocidad angular W podemos escribir la ecuacion diferencial del movimiento de rotacion en la forma 6 M d L d t W L displaystyle mathbf M frac d mathbf L dt boldsymbol Omega times mathbf L obteniendose para el modulo del momento 7 M W L sin ϕ displaystyle M Omega L sin phi expresion de la que despejaremos W para tener 8 W M L sin ϕ m g h L m g h I z z w displaystyle Omega frac M L sin phi frac mgh L frac mgh I zz omega donde hemos sustituido las expresiones 1 y 2 para el momento angular y el momento respectivamente La velocidad angular de precesion W resulta ser inversamente proporcional al momento angular L o a la velocidad angular intrinseca w de modo que si este o esta es grande aquella sera pequena Observese que la velocidad angular de precesion no depende del angulo de inclinacion del trompo Esta propiedad es muy importante en el fundamento de la resonancia magnetica nuclear y de sus aplicaciones Pero por que no cae el trompo La respuesta es que la fuerza vertical ejercida sobre el por el suelo en el extremo O de la pua es exactamente igual al peso del trompo de modo que la fuerza resultante vertical es nula La componente vertical de la cantidad de movimiento permanecera constante pero debido a que el momento no es nulo el momento angular cambia con el tiempo Si el trompo no estuviera en rotacion al abandonarlo no habria momento angular y al cabo de un intervalo de tiempo infinitesimal dt el momento angular dL adquirido en virtud del par de fuerzas que actua sobre el tendria la misma direccion que el vector M esto es que caeria Pero si el trompo se encuentra inicialmente en rotacion la variacion del momento angular dL producida por el par se suma vectorialmente al momento angular que ya tiene y puesto que dL es horizontal y perpendicular a L el resultado es el movimiento de precesion anteriormente descrito Figura 3 Los resultados obtenidos en nuestra discusion del movimiento del trompo son solamente aproximados Son correctos si w es muy grande en comparacion con W situacion compatible con la ec 7 La razon es que si el trompo esta precesando en torno al eje fijo vertical Z tendra un momento angular con respecto a dicho eje de modo que el momento angular total no sera simplemente Izzw como supusimos Sin embargo si la precesion es muy lenta el momento angular correspondiente a esa precesion puede despreciarse como implicitamente hemos hecho en nuestros calculos anteriores Por otra parte una discusion mas detallada nos mostraria que en general el angulo de nutacion ϕ displaystyle phi no permanece constante sino que oscila entre dos valores fijos de modo que el extremo del vector L al mismo tiempo que precesa alrededor de Z oscila entre dos circulos como se muestra en la figura 3 describiendo la trayectoria indicada Para comprender el porque de estas oscilaciones deberemos considerar el modo en que se origina el movimiento de precesion Si inicialmente mantenemos fija la orientacion del eje de rotacion z apoyando su extremo superior el peso del trompo estara compensado por la reaccion normal N en el punto O mas la reaccion normal en el apoyo del extremo superior del eje de modo que resultara ser N lt mg Si una vez que el trompo ha adquirido un rapido movimiento de rotacion abandonamos el eje entonces aun un instante despues sera N lt mg de modo que tenemos una fuerza resultante vertical y dirigida hacia abajo El trompo comienza a caer pero en ese instante comienza la precesion Como consecuencia del movimiento de caida la pua del trompo se apoya en el suelo con mas fuerza de modo que aumenta la fuerza de reaccion vertical N que finalmente llegara a ser mayor que el peso Cuando esto sucede el centro de masa del trompo comienza a acelerar hacia arriba El proceso se repite y el movimiento se compone de una precesion acompanada de una oscilacion del eje de rotacion hacia abajo y hacia arriba que recibe el nombre de nutacion La nutacion al igual que la precesion contribuye al momento angular total pero en general su contribucion es aun menor que la de la precesion Vease tambien Editar Cinematica del solido rigido Movimientos de la Tierra Nutacion Rotacion Eje instantaneo de rotacion Angulos de Euler Efecto AllaisReferencias Editar La representacion grafica de las posiciones del polo con respecto a la Tierra Polhode story Hantz Peter Lazar Zsolt I 2019 Precession intuitively explained Frontiers in Physics 7 doi 10 3389 fphy 2019 00005 Bibliografia Editar Landau amp Lifshitz Mecanica Ed Reverte Barcelona 1991 ISBN 84 291 4081 10 Feynman Leighton and 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