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Área

Este artículo trata sobre un concepto geométrico. Para otros usos de este término, véase Área (desambiguación).

El área es un concepto métrico que puede permitir asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie.​ El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.

El área es una magnitud métrica de tipo escalar​ definida como la extensión en dos dimensiones de una recta al plano del espacio.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone.​ Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,​ cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Índice

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método exhaustivo consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,​ así como el cálculo aproximado del número π.

Área del círculo

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la lúnula,​ pero no identificó la constante de proporcionalidad. Eudoxo de Cnido, también en el siglo V a. C., también encontró que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado.

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Sobre la medida del círculo. (La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr2 del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.​ En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π2 es irracional; esto también prueba que π es irracional.​ En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.:p. 196

Área del triángulo

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica, escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes,​ y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.

En 499 Aryabhata, un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por Qin Jiushao.

Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través de axiomas. El «área» se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:

  • Para todo S en M, a(S) ≥ 0.
  • Si S y T están en M, entonces también lo están ST y ST, y también a(ST) = a(S) + a(T) − a(ST).
  • Si S y T están en M con ST entonces T - S está en M y a(TS) = a(T) − a(S).
  • Si un conjunto S está en M y S es congruente con T, entonces T también está en M y a(S) = a(T).
  • Todo rectángulo R está en M. Si el rectángulo tiene una longitud h y una anchura k, entonces a(R) = hk.
  • Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, SQT. Si hay un número único c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para todas esas regiones escalonadas S y T, entonces a(Q) = c.

Se puede probar que tal función de área existe realmente.

Cuanto más cortes se hacen, más disminuye el área y aumenta el perímetro.

El perímetro es, junto con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones​ o creer que cuanto mayor es una, más también es la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una escala de 1:10 000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10 000 y el área multiplicando el de la representación por 10 0002. Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5 m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000 m). Proclo (siglo V) informa que los campesinos griegos compartían «equitativamente» campos de acuerdo con sus perímetros, pero con áreas diferentes.​ Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro.

Artículo principal: Figura geométrica

Área de un triángulo

Cálculo del área de un triángulo

A = b h 2 {\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}

Áreas en un plano cuadriculado.
  • El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:

A = b h 2 {\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
  • Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
A = a b 2 {\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}}
donde a y b son los catetos.
A = s ( s a ) ( s b ) ( s c ) {\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
A = 3 a 2 4 {\displaystyle A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}}
donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

Trapezoide.

A = A C ¯ B D ¯ sin θ 2 {\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}}

El área también se puede obtener mediante triangulación:

A = a d sin α + b c sin γ 2 {\displaystyle A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}}

Siendo:
α {\displaystyle \alpha \,} el ángulo comprendido entre los lados a {\displaystyle a\,} y d {\displaystyle d\,} .
γ {\displaystyle \gamma \,} el ángulo comprendido entre los lados b {\displaystyle b\,} y c {\displaystyle c\,} .
  • El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:

A = a b {\displaystyle A={a\cdot b\,}}

  • El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

A = A C ¯ B D ¯ 2 {\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}}

  • El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:

A = a a = a 2 {\displaystyle A=a\cdot a\,=a^{2}}

  • El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:

A = b h {\displaystyle A=b\cdot h\,}

  • El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):

A = a + b 2 h {\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}\cdot h}

Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:

A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}\,}

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:

A = π a b {\displaystyle A={\ \pi ab}}

Fórmulas generales

  • Un triángulo: 1 2 B h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh} (donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea en la que B se encuentra hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si se conoce la altura h. Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede usar la fórmula de Herón: s ( s a ) ( s b ) ( s c ) {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} donde a, b, c son los lados del triángulo y s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} es la mitad de su perímetro.​ Si se dan un ángulo y sus dos lados incluidos, el área es 1 2 a b sin ( C ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)} dondeC es el el ángulo y a y b son sus lados.​ Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de 1 2 ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})} . Esta fórmula también se conoce como algoritmo de la Lazada y es una manera fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). El algoritmo también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es usar el cálculo para encontrar el área.
  • Un polígono simple construido en una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteras) de modo que todos los vértices del polígono son puntos de cuadrícula: i + b 2 1 {\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1} , donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick.

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

Area ( a , b ) = a b | f ( x ) g ( x ) | d x {\displaystyle {\text{Area}}(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} y g ( x ) [ < f ( x ) ] {\displaystyle g(x)[<f(x)]\,} en el intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,} .

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f ( x ) = 4 x 2 {\displaystyle f(x)=4-x^{2}} en el intervalo [ 2 ; 2 ] {\displaystyle [-2;2]} , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} entonces evaluando la integral, se obtiene:

A ( 2 , 2 ) = {\displaystyle A(-2,2)=} 2 2 | 4 x 2 0 | d x = {\displaystyle \int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=} 2 0 2 4 x 2 d x = {\displaystyle 2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=} 2 [ 4 x x 3 3 ] 0 2 = {\displaystyle 2\left[4x-{\cfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=} 2 [ 8 ( 2 3 0 3 ) ] = {\displaystyle 2\left[8-\left({\cfrac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]=} 32 3 {\displaystyle {\cfrac {32}{3}}}

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32 / 3 {\displaystyle 32/3} .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

A L 2 1 4 π {\displaystyle {\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}}

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

  • Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
  • Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por un tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

A r ( a , b ) = 2 π a b f ( x ) 1 + ( d f ( x ) d x ) 2 d x {\displaystyle A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} x}

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

  • El área de esfera de radio R que viene dada por 4 π R 2 {\displaystyle 4\pi R^{2}\,}
  • El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por π R h 1 + R 2 / h 2 {\displaystyle \pi Rh{\sqrt {1+R^{2}/h^{2}}}}
  • El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente 2 π R h {\displaystyle 2\pi Rh\,}

Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

A ( Ω ) = Ω 1 + ( f x ) 2 + ( f y ) 2 d x d y {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

A ( Ω ) = Ω E G F 2 d u d v {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ \mathrm {d} u\mathrm {d} v}

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Esta sección es un extracto de Unidades de superficie[editar]

Las unidades de superficie son patrones establecidos mediante convención para facilitar el intercambio de datos de mediciones de la superficie, área o extensión de un objeto, terreno o figura geométrica.

La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. La medida de una superficie da lugar a dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió la necesidad de establecer una unidad de medida única para cada magnitud, de modo que la información fuese fácilmente comprendida.

Sistema Internacional de Unidades

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:

Múltiplos
Unidad básica
Submúltiplos

En la escala atómica, el área se mide en unidades de barn.​ Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear.

Sistema anglosajón de unidades

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:

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Bibliografía

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  • Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics(en inglés). ISBN 0-8493-9640-9.

Enlaces externos

Área
Área, medida, extensión, superficie, idioma, vigilar, editar, este, artículo, trata, sobre, concepto, geométrico, para, otros, usos, este, término, véase, desambiguación, área, concepto, métrico, puede, permitir, asignar, medida, extensión, superficie, expresa. Area medida de la extension de una superficie Idioma Vigilar Editar Este articulo trata sobre un concepto geometrico Para otros usos de este termino vease Area desambiguacion El area es un concepto metrico que puede permitir asignar una medida a la extension de una superficie expresada en matematicas como unidades de medida denominadas unidades de superficie 1 El area es un concepto metrico que requiere la especificacion de una medida de longitud El area es una magnitud metrica de tipo escalar definida como la extension en dos dimensiones de una recta al plano del espacio Para superficies planas el concepto es mas intuitivo Cualquier superficie plana de lados rectos es decir cualquier poligono puede triangularse y se puede calcular su area como suma de las areas de los triangulos en que se descompone 2 Ocasionalmente se usa el termino area como sinonimo de superficie 3 cuando no existe confusion entre el concepto geometrico en si mismo superficie y la magnitud metrica asociada al concepto geometrico area Sin embargo para calcular el area de superficies curvas se requiere introducir metodos de geometria diferencial Para poder definir el area de una superficie en general que es un concepto metrico se tiene que haber definido un tensor metrico sobre la superficie en cuestion cuando la superficie esta dentro de un espacio euclideo la superficie hereda una estructura metrica natural inducida por la metrica euclidiana Indice 1 Historia 1 1 Area del circulo 1 2 Area del triangulo 2 Definicion formal 3 Confusion entre area y perimetro 4 Area de figuras planas 4 1 Area de un triangulo 4 2 Area de un cuadrilatero 4 3 Area del circulo y la elipse 4 4 Formulas generales 4 5 Area delimitada entre dos funciones 4 6 Relacion area perimetro 5 Area de superficies curvas 5 1 Superficie de revolucion 5 2 Calculo general de areas 6 Unidades de medida de superficies 6 1 Sistema Internacional de Unidades 6 2 Sistema anglosajon de unidades 7 Vease tambien 8 Referencias 8 1 Bibliografia 8 2 Enlaces externosHistoria EditarLa idea de que el area es la medida que proporciona el tamano de la region encerrada en una figura geometrica proviene de la antiguedad En el antiguo Egipto tras la crecida anual de rio Nilo inundando los campos surge la necesidad de calcular el area de cada parcela agricola para restablecer sus limites para solventar eso los egipcios inventaron la geometria segun Herodoto 4 El modo de calcular el area de un poligono como la suma de las areas de los triangulos es un metodo que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifon hacia el ano 430 a C Hallar el area de una figura curva genera mas dificultad El metodo exhaustivo consiste en inscribir y circunscribir poligonos en la figura geometrica aumentar el numero de lados de dichos poligonos y hallar el area buscada Con el sistema que se conoce como metodo exhaustivo de Eudoxo consiguio obtener una aproximacion para calcular el area de un circulo Dicho sistema fue empleado tiempo despues por Arquimedes para resolver otros problemas similares 5 asi como el calculo aproximado del numero p Area del circulo Editar En el siglo V a C Hipocrates de Quios fue el primero en mostrar que el area de un disco la region encerrada por un circulo es proporcional al cuadrado de su diametro como parte de su cuadratura de la lunula 6 pero no identifico la constante de proporcionalidad Eudoxo de Cnido tambien en el siglo V a C tambien encontro que el area de un disco es proporcional a su radio al cuadrado 7 Posteriormente el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupo de la igualdad de areas entre figuras bidimensionales El matematico Arquimedes uso las herramientas de la geometria euclidiana para mostrar que el area dentro de un circulo es igual a la de un triangulo rectangulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del circulo y cuya altura es igual al radio del circulo en su libro Sobre la medida del circulo La circunferencia es 2pr y el area de un triangulo es la mitad de la base por la altura lo que da como resultado el area pr2 del disco Arquimedes aproximo el valor de p y por lo tanto el area de un circulo de radio unitario con su metodo en el que inscribio un triangulo regular en un circulo y anoto su area luego duplico el numero de lados para dar un hexagono regular luego duplico repetidamente el numero de lados a medida que el area del poligono se acercaba mas y mas a la del circulo e hizo lo mismo con poligonos circunscritos 5 El cientifico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostro que p la relacion entre el area de un circulo y su radio al cuadrado es irracional lo que significa que no es igual al cociente de dos numeros enteros 8 En 1794 el matematico frances Adrien Marie Legendre demostro que p2 es irracional esto tambien prueba que p es irracional 9 En 1882 el matematico aleman Ferdinand von Lindemann demostro que p es trascendental no la solucion de ninguna ecuacion polinomica con coeficientes racionales lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler 8 p 196 Area del triangulo Editar Heron de Alejandria encontro lo que se conoce como la formula de Heron para el area de un triangulo en terminos de sus lados y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica escrito alrededor del 60 d C Se ha sugerido que Arquimedes conocia la formula mas de dos siglos antes 10 y dado que Metrica es una coleccion del conocimiento matematico disponible en el mundo antiguo es posible que la formula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo 11 En 499 Aryabhata un matematico astronomo de la epoca clasica de las matematicas y la astronomia indias expreso el area de un triangulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya seccion 2 6 Los chinos descubrieron una formula equivalente a la de Heron independientemente de los griegos Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang Tratado matematico en nueve secciones escrito por Qin Jiushao Definicion formal EditarUn enfoque para definir lo que se entiende por area es a traves de axiomas El area se puede definir como una funcion de una coleccion M de un tipo especial de figuras planas denominadas conjuntos medibles al conjunto de numeros reales que satisface las siguientes propiedades 12 Para todo S en M a S 0 Si S y T estan en M entonces tambien lo estan S T y S T y tambien a S T a S a T a S T Si S y T estan en M con S T entonces T S esta en M y a T S a T a S Si un conjunto S esta en M y S es congruente con T entonces T tambien esta en M y a S a T Todo rectangulo R esta en M Si el rectangulo tiene una longitud h y una anchura k entonces a R hk Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T Una region escalonada se forma a partir de una union finita de rectangulos adyacentes que descansan sobre una base comun es decir S Q T Si hay un numero unico c tal que a S c a T para todas esas regiones escalonadas S y T entonces a Q c Se puede probar que tal funcion de area existe realmente 13 Confusion entre area y perimetro Editar Cuanto mas cortes se hacen mas disminuye el area y aumenta el perimetro El perimetro es junto con el area una de las dos medidas principales de las figuras geometricas planas A pesar de que no se expresan en la misma unidad es comun confundir estas dos nociones 14 o creer que cuanto mayor es una mas tambien es la otra De hecho la ampliacion o reduccion de una figura geometrica aumenta o disminuye simultaneamente su area y su perimetro Por ejemplo si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una escala de 1 10 000 el perimetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perimetro de la representacion por 10 000 y el area multiplicando el de la representacion por 10 0002 Sin embargo no existe un vinculo directo entre el area y el perimetro de ninguna figura Por ejemplo un rectangulo que tiene un area igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones en metros 0 5 y 2 por lo tanto un perimetro igual a 5 m pero tambien 0 001 y 1000 por lo tanto un perimetro de mas de 2000 m Proclo siglo V informa que los campesinos griegos compartian equitativamente campos de acuerdo con sus perimetros pero con areas diferentes 15 16 Sin embargo la produccion de un campo es proporcional al area no al perimetro Area de figuras planas EditarArticulo principal Figura geometrica Area de un triangulo Editar Calculo del area de un triangulo A b h 2 displaystyle A tfrac b cdot h 2 Areas en un plano cuadriculado El area de un triangulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta 17 A b h 2 displaystyle A frac b cdot h 2 donde b es la base del triangulo y h es la altura correspondiente a la base se puede considerar cualquier lado como base Si el triangulo es rectangulo la altura coincide con uno de los catetos con lo cual el area es igual al semiproducto de los catetos A a b 2 displaystyle A frac a cdot b 2 donde a y b son los catetos Si se conoce la longitud de sus lados se puede aplicar la formula de Heron A s s a s b s c displaystyle A sqrt s s a s b s c donde a b c son los valores de las longitudes de sus lados s a b c es el semiperimetro del triangulo Si el triangulo es equilatero el area es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raiz cuadrada de 3 A 3 a 2 4 displaystyle A frac sqrt 3 cdot a 2 4 donde a es un lado del triangulo Area de un cuadrilatero Editar Trapezoide El area del trapezoide o de cualquier cuadrilatero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del angulo que forman A A C B D sin 8 2 displaystyle A frac overline AC cdot overline BD cdot sin theta 2 El area tambien se puede obtener mediante triangulacion A a d sin a b c sin g 2 displaystyle A frac a cdot d cdot sin alpha b cdot c cdot sin gamma 2 Siendo a displaystyle alpha el angulo comprendido entre los lados a displaystyle a y d displaystyle d g displaystyle gamma el angulo comprendido entre los lados b displaystyle b y c displaystyle c dd El rectangulo es un paralelogramo cuyos angulos son todos de 90º y el area es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b 17 A a b displaystyle A a cdot b El rombo es un paralelogramo cuyos 4 lados son iguales y tiene su area dada por el semiproducto de sus dos diagonales A A C B D 2 displaystyle A frac overline AC cdot overline BD 2 El cuadrado es el poligono regular de cuatro lados es a la vez un rectangulo y un rombo por lo que su area puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos En particular dado que sus lados son iguales se usa la formula 17 A a a a 2 displaystyle A a cdot a a 2 El romboide tiene su area dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva 17 A b h displaystyle A b cdot h El trapecio el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre si y dos lados no paralelos tiene un area que viene dada por la media aritmetica de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos altura 17 A a b 2 h displaystyle A frac a b 2 cdot h Area del circulo y la elipse Editar El area de un circulo o la delimitada por una circunferencia se calcula mediante la siguiente expresion matematica 18 A p r 2 displaystyle A pi r 2 El area delimitada entre la grafica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones El area delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por p 19 A p a b displaystyle A pi ab Formulas generales Editar Un triangulo 1 2 B h displaystyle tfrac 1 2 Bh donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la linea en la que B se encuentra hasta el otro vertice del triangulo Esta formula se puede utilizar si se conoce la altura h Si se conocen las longitudes de los tres lados se puede usar la formula de Heron s s a s b s c displaystyle sqrt s s a s b s c donde a b c son los lados del triangulo y s 1 2 a b c displaystyle s tfrac 1 2 a b c es la mitad de su perimetro 20 Si se dan un angulo y sus dos lados incluidos el area es 1 2 a b sin C displaystyle tfrac 1 2 ab sin C donde C es el el angulo y a y b son sus lados 20 Si el triangulo se representa graficamente en un plano de coordenadas se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de 1 2 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 displaystyle tfrac 1 2 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 Esta formula tambien se conoce como algoritmo de la Lazada y es una manera facil de resolver el area de un triangulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos x1 y1 x2 y2 y x3 y3 El algoritmo tambien se puede utilizar para encontrar las areas de otros poligonos cuando se conocen sus vertices Otro enfoque para un triangulo de coordenadas es usar el calculo para encontrar el area Un poligono simple construido en una cuadricula de puntos de igual distancia es decir puntos con coordenadas enteras de modo que todos los vertices del poligono son puntos de cuadricula i b 2 1 displaystyle i frac b 2 1 donde i es el numero de puntos de la cuadricula dentro del poligono y b es el numero de puntos limite Este resultado se conoce como teorema de Pick 21 Area delimitada entre dos funciones Editar Una forma para hallar el area delimitada entre dos funciones es utilizando el calculo integral Area a b a b f x g x d x displaystyle text Area a b int a b f x g x dx El resultado de esta integral es el area comprendida entre las curvas f x displaystyle f x y g x lt f x displaystyle g x lt f x en el intervalo a b displaystyle a b Ejemplo Si se quiere hallar el area delimitada entre el eje x y la funcion f x 4 x 2 displaystyle f x 4 x 2 en el intervalo 2 2 displaystyle 2 2 se utiliza la ecuacion anterior en este caso g x 0 displaystyle g x 0 entonces evaluando la integral se obtiene A 2 2 displaystyle A 2 2 2 2 4 x 2 0 d x displaystyle int 2 2 4 x 2 0 dx 2 0 2 4 x 2 d x displaystyle 2 int 0 2 4 x 2 dx 2 4 x x 3 3 0 2 displaystyle 2 left 4x cfrac x 3 3 right 0 2 2 8 2 3 0 3 displaystyle 2 left 8 left cfrac 2 3 0 3 right right 32 3 displaystyle cfrac 32 3 Por lo que se concluye que el area delimitada es 32 3 displaystyle 32 3 El volumen encerrado entre dos funciones tambien puede ser reducido al calculo de una integral similar Relacion area perimetro Editar Dada una curva simple cerrada en el plano euclideo puede probarse que su longitud o perimetro del area encerrada y la propia area encerrada satisfacen la relacion A L 2 1 4 p displaystyle frac A L 2 leq frac 1 4 pi La igualdad se alcanza solo para un circulo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta Area de superficies curvas EditarEl area de una superficie curva es mas complejo y en general supone realizar algun tipo de idealizacion o limite para medirlo Cuando la superficie es desarrollable como sucede con el area lateral de un cilindro o de un cono el area de la superficie puede calcularse a partir del area desarrollada que siempre es una figura plana Una condicion matematica necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula Cuando la superficie no es desarrollable el calculo de la superficie o la formula analitica para encontrar dicho valor es mas trabajoso Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado y por tanto no es cero Sin embargo la esfera es una superficie de revolucion Superficie de revolucion Editar Una superficie de revolucion generada por un tramo de la curva y 2 cos x rotada alrededor del eje x Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz la superficie resultante se llama superficie de revolucion y su area puede ser calculada facilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie Si y f x es la ecuacion que define un tramo de curva al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolucion cuya area lateral vale A r a b 2 p a b f x 1 d f x d x 2 d x displaystyle A r a b 2 pi int a b f x sqrt 1 left frac df x dx right 2 mathrm d x Ejemplos particulares de superficies de revolucion son El area de esfera de radio R que viene dada por 4 p R 2 displaystyle 4 pi R 2 El area de un cono de radio R y de altura h viene dada por p R h 1 R 2 h 2 displaystyle pi Rh sqrt 1 R 2 h 2 El area lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente 2 p R h displaystyle 2 pi Rh Calculo general de areas Editar Mediante la geometria diferencial de superficies o mas generalmente la geometria riemanniana puede calcularse el area de cualquier superficie curva finita Si la superficie viene dada por la funcion explicita z f x y entonces dada una region W contenida en una superficie su area resultar ser A W W 1 f x 2 f y 2 d x d y displaystyle A Omega iint Omega sqrt 1 left frac partial f partial x right 2 left frac partial f partial y right 2 mathrm d x mathrm d y De manera un poco mas general si conocemos la ecuacion parametrica de la superficie en funcion de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el area anterior puede escribirse como A W W E G F 2 d u d v displaystyle A Omega iint Omega sqrt EG F 2 mathrm d u mathrm d v Donde E F y G son las componentes del tensor metrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas parametricas u y v En una variedad de Riemann de dimension n gt 1 puede definirse el area de ciertas subvariedades cuya dimension sea 2 Para ello se define un conjunto de dos coordenadas u v que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad entonces el area es la integral de una 2 forma sobre dicha variedad Esta definicion coincidiria con la definicion de areas dada a partir de la primera forma fundamental Unidades de medida de superficies EditarEsta seccion es un extracto de Unidades de superficie editar Las unidades de superficie son patrones establecidos mediante convencion para facilitar el intercambio de datos de mediciones de la superficie area o extension de un objeto terreno o figura geometrica La medicion es la tecnica mediante la cual asignamos un numero a una propiedad fisica como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como patron la cual se adopta como unidad La medida de una superficie da lugar a dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida Asi surgio la necesidad de establecer una unidad de medida unica para cada magnitud de modo que la informacion fuese facilmente comprendida Sistema Internacional de Unidades Editar Segun el Sistema Internacional de Unidades las unidades cuadradas son las que se listan a continuacion 22 MultiplosKilometro cuadrado 106 metros cuadrados Hectometro cuadrado o hectarea 104 metros cuadrados Decametro cuadrado o area 102 metros cuadradosUnidad basicametro cuadrado unidad derivada del SI Elenio litro centimetro Piornio candela estereorradian luxSubmultiplosDecimetro cuadrado 10 2 m una centesima de metro cuadrado Centimetro cuadrado 10 4 m una diezmilesima de metro cuadrado Milimetro cuadrado 10 6 m una millonesima de metro cuadrado barn 10 28 m metro cuadrado En la escala atomica el area se mide en unidades de barn 23 Se usa comunmente para describir el area transversal de interaccion en fisica nuclear 23 Sistema anglosajon de unidades Editar Las unidades mas usadas del sistema anglosajon son 24 pulgada cuadrada pie cuadrado yarda cuadrada El acre tambien se usa comunmente para medir areas de tierra donde 1 acre 4840 yardas cuadradas 43 560 pies cuadrados 25 Vease tambien EditarUnidad de medida Metrologia Areas de figuras geometricasReferencias Editar Arturo Rincon Villalba Mario Ernesto Vargas Vargas Wilson Javier Gonzalez Vergara Carlos 2018 Topografia Conceptos y aplicaciones Ecoe Ediciones ISBN 9789587715071 Consultado el 1 de marzo de 2018 Didactica de las Matematicas Una Experiencia Pedagogica ELIZCOM S A S ISBN 9789584479389 Consultado el 1 de marzo de 2018 Dominguez Luis Fernando Diaz 4 de marzo de 2016 Manual Competencia clave Matematicas Nivel III FCOV12 Formacion complementaria EDITORIAL 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de https es wikipedia org w index php title Area amp oldid 137395414, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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